10個の区別できない玉を4つの箱A, B, C, Dに入れる場合の数を求める問題です。 (1) 各箱に玉を入れなくても良い場合 (2) 各箱に少なくとも1つの玉を入れる場合

1. 問題の内容

10個の区別できない玉を4つの箱A, B, C, Dに入れる場合の数を求める問題です。

(1) 各箱に玉を入れなくても良い場合

(2) 各箱に少なくとも1つの玉を入れる場合

2. 解き方の手順

(1) 玉を1個も入れない箱があってもよい場合

この問題は、10個の玉と3個の仕切りを並べる順列の総数を求める問題と同じです。

例えば、玉を○、仕切りを｜で表すと、

○○○○○○○○○｜｜｜

は、箱Aに10個、箱B, C, Dに0個入れることを意味します。

したがって、10個の玉と3個の仕切りの合計13個から3個の仕切りを選ぶ組み合わせの数を計算します。

これは、組み合わせの公式 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ を用いて計算できます。

この場合、$n=13$, $k=3$ なので、

$\binom{13}{3} = \frac{13!}{3!10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$

(2) それぞれの箱に少なくとも1個は玉を入れる場合

まず、各箱に1個ずつ玉を入れます。すると、残りの玉は10 - 4 = 6個となります。

次に、残りの6個の玉を4つの箱に入れる方法の数を求めます。これは、(1)と同様に考えることができます。

6個の玉と3個の仕切りを並べる順列の総数を求める問題と同じです。

したがって、6個の玉と3個の仕切りの合計9個から3個の仕切りを選ぶ組み合わせの数を計算します。

この場合、$n=9$, $k=3$ なので、

$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

3. 最終的な答え

(1) 286通り

(2) 84通り