9人を以下の方法で分ける場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 部屋A, B, Cに3人ずつ入れる。 (2) 3人ずつの3組に分ける。 (3) 2人, 2人, 5人の3組に分ける。

1. 問題の内容

9人を以下の方法で分ける場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 部屋A, B, Cに3人ずつ入れる。

(2) 3人ずつの3組に分ける。

(3) 2人, 2人, 5人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 部屋A, B, Cに3人ずつ入れる場合

まず、9人からAに入れる3人を選びます。その選び方は $\binom{9}{3}$通り。

次に、残りの6人からBに入れる3人を選びます。その選び方は $\binom{6}{3}$通り。

最後に、残りの3人はCに入れます。その選び方は $\binom{3}{3} = 1$通り。

したがって、部屋A, B, Cに3人ずつ入れる場合の数は、

$\binom{9}{3} \times \binom{6}{3} \times \binom{3}{3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times 1 = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$ 通りです。

(2) 3人ずつの3組に分ける場合

まず、9人から3人を選びます。その選び方は $\binom{9}{3}$通り。

次に、残りの6人から3人を選びます。その選び方は $\binom{6}{3}$通り。

最後に、残りの3人を選びます。その選び方は $\binom{3}{3} = 1$通り。

しかし、この場合、3つの組に区別がないので、3!で割る必要があります。

したがって、3人ずつの3組に分ける場合の数は、

$\frac{\binom{9}{3} \times \binom{6}{3} \times \binom{3}{3}}{3!} = \frac{1}{3!} \times \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times 1 = \frac{1}{6} \times \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通りです。

(3) 2人, 2人, 5人の3組に分ける場合

まず、9人から5人を選びます。その選び方は $\binom{9}{5}$通り。

次に、残りの4人から2人を選びます。その選び方は $\binom{4}{2}$通り。

最後に、残りの2人を選びます。その選び方は $\binom{2}{2} = 1$通り。

この場合、2人の組が2つあるので、2!で割る必要があります。

したがって、2人, 2人, 5人の3組に分ける場合の数は、

$\frac{\binom{9}{5} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2}}{2!} = \frac{1}{2} \times \frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1 = \frac{1}{2} \times \frac{9!}{5!2!2!} = \frac{1}{2} \times \frac{362880}{120 \times 2 \times 2} = \frac{1}{2} \times \frac{362880}{480} = \frac{1}{2} \times 756 = 378$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り

(3) 378通り