1. 問題の内容
コインを何回か投げ、表が合計3回出るか、裏が合計2回出たところで投げるのをやめる。このとき、表と裏の異なる出方は全部で何通りあるかを求める問題です。
2. 解き方の手順
表をH、裏をTで表すことにします。
表が3回出る場合と裏が2回出る場合で場合分けします。
(1) 表が3回出て終了する場合
このとき、最後のコインは必ず表(H)です。
それまでに裏が何回出ているかで場合分けします。
- 裏が0回の場合：HHH (1通り)
- 裏が1回の場合：HHTH, HTHH, THHH (3通り)
- 裏が2回の場合：HHTTH, HTHTH, HTTHH, THHTH, THTHH, TTHHH (6通り)
しかし、裏が2回出た時点で終了なので、HHTTH, HTHTH, HTTHH, THHTH, THTHH, TTHHHはありえません。最後のコインが必ず表(H)なので、それ以前に裏が2回出てはいけないからです。
したがって、この場合は、HHH, HHTH, HTHH, THHHの合計4通りです。
(2) 裏が2回出て終了する場合
このとき、最後のコインは必ず裏(T)です。
それまでに表が何回出ているかで場合分けします。
- 表が0回の場合：TT (1通り)
- 表が1回の場合：THT, HTT (2通り)
- 表が2回の場合：TTHH, THTH, HTTH, HTHH. ここで最後のコインがTの場合を考えます。 THTH, HTTH, HHTTの組み合わせはありえません。 なぜなら、裏が２回出た時点で終わるので、最後が裏の場合、それまでに表が３回でることはありえません。
したがって、TTH, THT, HTTの合計3通りです。
しかし、表が３回でた時点で終了なのでありえません。
最後のコインが必ず裏(T)なので、それ以前に表が3回出てはいけないからです。
- 表が3回の場合：これはありえないので0通り
以上から、考えられる表と裏の出方は、以下の通りです。
HHH, HHTH, HTHH, THHH, TT, THT, HTT
よって、全部で 4 + 3 = 7 通りです。
3. 最終的な答え
7通り