与えられた重積分 $\int_0^1 \int_y^{\sqrt{y}} f(x,y) dx dy$ について、以下の問いに答えます。 (1) 積分領域を図示します。 (2) 積分の順序を変更して積分式を表します。 (3) $f(x,y) = x^2 + y$ のとき、与えられた重積分の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた重積分 $\int_0^1 \int_y^{\sqrt{y}} f(x,y) dx dy$ について、以下の問いに答えます。

(1) 積分領域を図示します。

(2) 積分の順序を変更して積分式を表します。

(3) $f(x,y) = x^2 + y$ のとき、与えられた重積分の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 積分領域の図示

与えられた重積分の積分範囲は、

$0 \le y \le 1$

$y \le x \le \sqrt{y}$

です。

$x = y$ と $x = \sqrt{y}$ を変形すると、$y = x$ と $y = x^2$ となります。

$x = y$ と $y = x^2$ の交点は、$x = x^2$ より $x(x-1)=0$ であり、$x=0, 1$ となります。

したがって、積分領域は、$y=x^2$ と $y=x$ で囲まれた領域であり、$0 \le x \le 1$ の範囲で $x^2 \le y \le x$ です。

(2) 積分の順序の変更

積分領域を図示すると、$x$ の範囲は $0 \le x \le 1$ であり、$y$ の範囲は $x^2 \le y \le x$ です。

したがって、積分の順序を変更すると、

$\int_0^1 \int_{x^2}^x f(x,y) dy dx$

となります。

(3) 積分の計算

$f(x,y) = x^2 + y$ のとき、

$\int_0^1 \int_{x^2}^x (x^2 + y) dy dx$

を計算します。

まず、$y$ について積分します。

$\int_{x^2}^x (x^2 + y) dy = [x^2 y + \frac{1}{2} y^2]_{x^2}^x = x^3 + \frac{1}{2} x^2 - (x^4 + \frac{1}{2} x^4) = x^3 + \frac{1}{2} x^2 - \frac{3}{2} x^4$

次に、$x$ について積分します。

$\int_0^1 (x^3 + \frac{1}{2} x^2 - \frac{3}{2} x^4) dx = [\frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{6} x^3 - \frac{3}{10} x^5]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{3}{10} = \frac{15 + 10 - 18}{60} = \frac{7}{60}$

3. 最終的な答え

(1) 積分領域は、$y=x^2$ と $y=x$ で囲まれた領域($0 \le x \le 1$ の範囲)

(2) $\int_0^1 \int_{x^2}^x f(x,y) dy dx$

(3) $\frac{7}{60}$