5.(1) $\log_3 4 + \log_3 6 - \log_3 5 \cdot \log_5 12$を計算する。 5.(2) $\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2)$を計算する。 6.(1) $2^{2\log_2 x - \log_2 3} = 12$を満たす$x$を求める。 6.(2) $\log_6 (x-1) + \log_6 (x+4) = 2$を満たす$x$を求める。

1. 問題の内容

5.(1) $\log_3 4 + \log_3 6 - \log_3 5 \cdot \log_5 12$を計算する。

5.(2) $\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2)$を計算する。

6.(1) $2^{2\log_2 x - \log_2 3} = 12$を満たす$x$を求める。

6.(2) $\log_6 (x-1) + \log_6 (x+4) = 2$を満たす$x$を求める。

2. 解き方の手順

5.(1)

まず、対数の性質 $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ を用いて、最初の2項をまとめます。

$\log_3 4 + \log_3 6 = \log_3 (4 \cdot 6) = \log_3 24$

次に、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて、$\log_5 12$の底を3に変換します。

$\log_5 12 = \frac{\log_3 12}{\log_3 5}$

したがって、

$\log_3 5 \cdot \log_5 12 = \log_3 5 \cdot \frac{\log_3 12}{\log_3 5} = \log_3 12$

元の式は、

$\log_3 24 - \log_3 12 = \log_3 \frac{24}{12} = \log_3 2$

5.(2)

底の変換公式を用いて、すべての対数の底を2に変換します。

$\log_5 10 = \frac{\log_2 10}{\log_2 5}$

$\log_5 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 5} = \frac{1}{\log_2 5}$

元の式は、

$\log_2 10 \cdot \frac{\log_2 10}{\log_2 5} - (\log_2 5 + \frac{1}{\log_2 5})$

$= \frac{(\log_2 10)^2}{\log_2 5} - \log_2 5 - \frac{1}{\log_2 5}$

$\log_2 10 = \log_2 (2 \cdot 5) = \log_2 2 + \log_2 5 = 1 + \log_2 5$ なので、

$\frac{(1 + \log_2 5)^2}{\log_2 5} - \log_2 5 - \frac{1}{\log_2 5}$

$= \frac{1 + 2\log_2 5 + (\log_2 5)^2}{\log_2 5} - \log_2 5 - \frac{1}{\log_2 5}$

$= \frac{1}{\log_2 5} + 2 + \log_2 5 - \log_2 5 - \frac{1}{\log_2 5} = 2$

6.(1)

$2^{2\log_2 x - \log_2 3} = 12$

対数の性質 $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ と $n \log_a b = \log_a b^n$ を用いて、指数部分をまとめます。

$2\log_2 x - \log_2 3 = \log_2 x^2 - \log_2 3 = \log_2 \frac{x^2}{3}$

したがって、

$2^{\log_2 \frac{x^2}{3}} = 12$

$\frac{x^2}{3} = 12$

$x^2 = 36$

$x = \pm 6$

$x$は正なので、$x=6$

6.(2)

$\log_6 (x-1) + \log_6 (x+4) = 2$

対数の性質 $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ を用いて、

$\log_6 ((x-1)(x+4)) = 2$

$(x-1)(x+4) = 6^2 = 36$

$x^2 + 3x - 4 = 36$

$x^2 + 3x - 40 = 0$

$(x+8)(x-5) = 0$

$x = -8, 5$

$x-1 > 0$ と $x+4 > 0$ でなければならないので、$x > 1$

したがって、$x=5$

3. 最終的な答え

5.(1) $\log_3 2$

5.(2) $2$

6.(1) $6$

6.(2) $5$