関数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ の、$0 < x < 3$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。ただし、最大値または最小値が存在しない場合は「なし」と答える。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ の、$0 < x < 3$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。ただし、最大値または最小値が存在しない場合は「なし」と答える。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = 2((x-1)^2 - 1) + 3 = 2(x-1)^2 - 2 + 3 = 2(x-1)^2 + 1$

よって、与えられた関数は $y = 2(x-1)^2 + 1$ と変形できます。

これは、頂点が $(1, 1)$ で、下に凸な放物線を表します。

次に、$0 < x < 3$ の範囲でこの関数の最大値と最小値を考えます。

$x=1$ は定義域に含まれているので、$x=1$のときに最小値$y = 2(1-1)^2 + 1 = 1$をとります。

最大値について、$x=3$に近づくほど$y$の値は大きくなりますが、$x<3$であるため、$x=3$における関数の値は最大値とはなりません。

$x=3$ のとき、$y = 2(3-1)^2 + 1 = 2(2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 9$ です。

したがって、$x$が3に近いほど$y$の値は9に近づきますが、x<3なので最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

最大値：なし ($x$ = なし のとき)

最小値：1