座標空間内に平行四辺形ABCDがあり、頂点A, B, Cの座標がそれぞれA(2, 1, 5), B(-1, 2, 3), C(1, 0, -1)で与えられている。このとき、頂点Dの座標を求める問題。

1. 問題の内容

座標空間内に平行四辺形ABCDがあり、頂点A, B, Cの座標がそれぞれA(2, 1, 5), B(-1, 2, 3), C(1, 0, -1)で与えられている。このとき、頂点Dの座標を求める問題。

2. 解き方の手順

平行四辺形ABCDにおいて、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ が成り立つ。

まず、ベクトル$\overrightarrow{AB}$を計算する。

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

次に、頂点Dの座標を(x, y, z)とすると、ベクトル$\overrightarrow{DC}$は

$\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-x \\ -y \\ -1-z \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$より、

$\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-x \\ -y \\ -1-z \end{pmatrix}$

したがって、

$1 - x = -3$

$-y = 1$

$-1 - z = -2$

これらの式を解くと、

$x = 1 + 3 = 4$

$y = -1$

$z = -1 + 2 = 1$

したがって、頂点Dの座標は(4, -1, 1)となる。

3. 最終的な答え

D(4, -1, 1)