次の等式を証明する問題です。 (1) $\frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}} + \frac{1}{\tan{\theta}} = \frac{1}{\sin{\theta}}$ (2) $(\tan{\theta} + 1)^2 + (1 - \tan{\theta})^2 = \frac{2}{\cos^2{\theta}}$

1. 問題の内容

次の等式を証明する問題です。

(1) $\frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}} + \frac{1}{\tan{\theta}} = \frac{1}{\sin{\theta}}$

(2) $(\tan{\theta} + 1)^2 + (1 - \tan{\theta})^2 = \frac{2}{\cos^2{\theta}}$

2. 解き方の手順

(1) 左辺を計算して右辺に一致することを示します。

$\frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}} + \frac{1}{\tan{\theta}} = \frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}} + \frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}$

$= \frac{\sin^2{\theta} + \cos{\theta}(1+\cos{\theta})}{\sin{\theta}(1+\cos{\theta})}$

$= \frac{\sin^2{\theta} + \cos{\theta} + \cos^2{\theta}}{\sin{\theta}(1+\cos{\theta})}$

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ なので、

$= \frac{1 + \cos{\theta}}{\sin{\theta}(1+\cos{\theta})}$

$= \frac{1}{\sin{\theta}}$

よって、$\frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}} + \frac{1}{\tan{\theta}} = \frac{1}{\sin{\theta}}$

(2) 左辺を計算して右辺に一致することを示します。

$(\tan{\theta} + 1)^2 + (1 - \tan{\theta})^2 = \tan^2{\theta} + 2\tan{\theta} + 1 + 1 - 2\tan{\theta} + \tan^2{\theta}$

$= 2\tan^2{\theta} + 2$

$= 2(\tan^2{\theta} + 1)$

$\tan^2{\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$ なので、

$= \frac{2}{\cos^2{\theta}}$

よって、$(\tan{\theta} + 1)^2 + (1 - \tan{\theta})^2 = \frac{2}{\cos^2{\theta}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}} + \frac{1}{\tan{\theta}} = \frac{1}{\sin{\theta}}$

(2) $(\tan{\theta} + 1)^2 + (1 - \tan{\theta})^2 = \frac{2}{\cos^2{\theta}}$