複素数平面上で、$|z-(1-i)| = \sqrt{2}$ で表される円上に3点 O(0), A($\alpha$), B($\beta$) があり、これらが正三角形の頂点をなすとき、$\alpha$ と $\beta$ を表す複素数を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上で、$|z-(1-i)| = \sqrt{2}$ で表される円上に3点 O(0), A($\alpha$), B($\beta$) があり、これらが正三角形の頂点をなすとき、$\alpha$ と $\beta$ を表す複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$|z-(1-i)| = \sqrt{2}$ は中心が $1-i$ で、半径が $\sqrt{2}$ の円を表します。

この円周上の点 $z$ は、$z = (1-i) + \sqrt{2}e^{i\theta}$ と表せます。ここで $\theta$ は実数です。

正三角形の頂点の1つは原点 O(0) なので、$\alpha$ と $\beta$ は円周上にあり、かつ原点Oとともに正三角形をなします。

点 O, A, B が正三角形をなす条件は、$0$, $\alpha$, $\beta$ が正三角形の頂点であることから、$e^{\pm i \frac{2\pi}{3}}$ をかけることで $\alpha$ から $\beta$ に移る、またはその逆が成り立つ必要があります。

つまり、$\alpha e^{\pm i\frac{2\pi}{3}} = \beta$ が成り立ちます。

$z = (1-i) + \sqrt{2}e^{i\theta}$ であるとき、O(0), $\alpha$, $\beta$ が正三角形をなすので、$\alpha$ と $\beta$ は

$\alpha = (1-i) + \sqrt{2}e^{i\theta_1}$

$\beta = (1-i) + \sqrt{2}e^{i\theta_2}$

とおける。

ここで、$e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$e^{-i\frac{2\pi}{3}} = \cos\frac{-2\pi}{3} + i\sin\frac{-2\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

中心が原点ではないため、回転の関係は直接使うことができません。

正三角形の頂点の配置を考えます。円の中心をC（1-i)とします。

OCを結ぶ直線と円の交点が、$\alpha$と$\beta$の候補になります。またOCと直交する直線と円の交点も$\alpha$と$\beta$の候補です。

OCの傾きは-1なので、OCの偏角は$-\frac{\pi}{4}$です。

よって$\alpha, \beta = (1-i) + \sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{12})}、(1-i) + \sqrt{2}e^{i(-\frac{11\pi}{12})}$

$(1-i) + \sqrt{2}(\cos(\frac{5\pi}{12}) + i\sin(\frac{5\pi}{12})) = (1-i) + \sqrt{2}(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})$

$= (1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}) + i(-1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}) = (\frac{3+\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}) = \frac{3+\sqrt{3}}{2} + \frac{-1+\sqrt{3}}{2}i$

$(1-i) + \sqrt{2}(\cos(-\frac{11\pi}{12}) + i\sin(-\frac{11\pi}{12})) = (1-i) + \sqrt{2}(\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})$

$= (1+\frac{-\sqrt{3}+1}{2}) + i(-1+\frac{-\sqrt{3}-1}{2}) = (\frac{3-\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{-3-\sqrt{3}}{2}) = \frac{3-\sqrt{3}}{2} + \frac{-3-\sqrt{3}}{2}i$

3. 最終的な答え

$\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2} + \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}i$ (複号同順)