複素数平面において、$|z - (1-i)| = \sqrt{2}$ で表される円上に3点 O(0), A($\alpha$), B($\beta$) があり、これらが正三角形の頂点をなすとき、$\alpha$と$\beta$を表す複素数を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面において、$|z - (1-i)| = \sqrt{2}$ で表される円上に3点 O(0), A($\alpha$), B($\beta$) があり、これらが正三角形の頂点をなすとき、$\alpha$と$\beta$を表す複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円の中心をC($1-i$)とします。半径は$\sqrt{2}$です。

点O, A, Bが正三角形の頂点である条件から、O, A, Bは円周上にあり、かつ互いの距離が等しいことが分かります。

複素数平面上の回転を利用します。

点A, Bは点Oを点Cを中心として$\pm \frac{2\pi}{3}$回転させた点であると考えられます。

複素数$\alpha$は、円周上にあり、0でない点であるため、

$\alpha - (1-i) = \sqrt{2}e^{i\theta}$と表せます。

$\alpha = 1-i + \sqrt{2}e^{i\theta}$

ここで、0, $\alpha$, $\beta$が正三角形をなすので、$\alpha$と$\beta$は原点Oから中心$1-i$までのベクトルを$\pm 2\pi/3$回転させます。

したがって、$\alpha = (1-i)e^{i(2\pi/3)}$, $\beta = (1-i)e^{-i(2\pi/3)}$とおいてみます。

点Aを表す複素数$\alpha$は、点C($1-i$)を中心として原点Oを$\pm 2\pi / 3$回転させた位置にあると考えられます。

しかし、これは中心からの相対的な位置が回転することを意味します。

原点からの位置を表す複素数$\alpha$は

$\alpha = (1-i) + \sqrt{2}e^{i(\pi/4 \pm 2\pi/3)}$

と表せます。

$\pi/4 + 2\pi/3 = (3\pi + 8\pi)/12 = 11\pi/12$

$\pi/4 - 2\pi/3 = (3\pi - 8\pi)/12 = -5\pi/12$

したがって、$\alpha = 1-i + \sqrt{2} (\cos(11\pi/12) + i\sin(11\pi/12))$ または $\alpha = 1-i + \sqrt{2} (\cos(-5\pi/12) + i\sin(-5\pi/12))$

$\cos(11\pi/12) = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $\sin(11\pi/12) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos(-5\pi/12) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\sin(-5\pi/12) = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\alpha = 1-i + \sqrt{2} (-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}) = 1 - \frac{\sqrt{12}+2}{4} + i(-1 + \frac{\sqrt{12}-2}{4}) = \frac{4-2\sqrt{3}-2}{4} + i\frac{-4+2\sqrt{3}-2}{4} = \frac{2-2\sqrt{3}}{4} + i \frac{-6+2\sqrt{3}}{4} = \frac{1-\sqrt{3}}{2} + i\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$

$\alpha = 1-i + \sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} - i\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{12}-2}{4} + i (-1 - \frac{\sqrt{12}+2}{4}) = \frac{4+2\sqrt{3}-2}{4} + i \frac{-4-2\sqrt{3}-2}{4} = \frac{2+2\sqrt{3}}{4} + i \frac{-6-2\sqrt{3}}{4} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$

$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + i\frac{-3 \mp \sqrt{3}}{2}$

従って、$a = \frac{1\pm\sqrt{3}}{2}, b = \frac{-3\mp\sqrt{3}}{2}$

与えられた形式に合わせると

$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + i\frac{-3 \mp \sqrt{3}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}i$

3. 最終的な答え

$\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}i$