3点 $A(1, 3, 2)$, $B(1, 0, 5)$, $C(3, 2, 1)$ を頂点とする $\triangle ABC$ において、$\angle ABC$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $A(1, 3, 2)$, $B(1, 0, 5)$, $C(3, 2, 1)$ を頂点とする $\triangle ABC$ において、$\angle ABC$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

$\angle ABC$ の大きさを求めるために、ベクトル $\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ を用います。

まず、ベクトル $\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ を求めます。

$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = (1-1, 3-0, 2-5) = (0, 3, -3)$

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = (3-1, 2-0, 1-5) = (2, 2, -4)$

次に、$\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の内積を求めます。

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (0)(2) + (3)(2) + (-3)(-4) = 0 + 6 + 12 = 18$

次に、$\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の大きさをそれぞれ求めます。

$|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

$\cos \angle ABC = \dfrac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|}$ を用いて、$\cos \angle ABC$ を求めます。

$\cos \angle ABC = \dfrac{18}{(3\sqrt{2})(2\sqrt{6})} = \dfrac{18}{6\sqrt{12}} = \dfrac{3}{\sqrt{12}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\angle ABC = \arccos \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{6}$ (ラジアン) または $30^\circ$ (度) です。

3. 最終的な答え

$\angle ABC = 30^\circ$