問題は、3点A, B, Cが一直線上にあるとき、それぞれの問題における変数 $x$ と $y$ の値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、3点A, B, Cが一直線上にあるとき、それぞれの問題における変数 $x$ と $y$ の値を求めることです。

2. 解き方の手順

(1) A(1, 2, 4), B(2, 5, 6), C(x, y, 10) の場合

3点が一直線上にあるということは、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ とベクトル $\overrightarrow{AC}$ が平行であることを意味します。つまり、ある実数 $k$ が存在して、$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ が成り立ちます。

$\overrightarrow{AB} = (2-1, 5-2, 6-4) = (1, 3, 2)$

$\overrightarrow{AC} = (x-1, y-2, 10-4) = (x-1, y-2, 6)$

$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ より、

$(x-1, y-2, 6) = k(1, 3, 2) = (k, 3k, 2k)$

各成分を比較すると、以下の3つの式が得られます。

$x-1 = k$

$y-2 = 3k$

$6 = 2k$

3番目の式から $k = 3$ が得られます。

これを1番目の式に代入すると、$x-1 = 3$ より $x = 4$ となります。

これを2番目の式に代入すると、$y-2 = 3(3) = 9$ より $y = 11$ となります。

(2) A(2, 3, 6), B(8, 1, 8), C(-1, x, y) の場合

同様に、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ とベクトル $\overrightarrow{AC}$ が平行であることから、$ある実数$k$が存在して、$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ が成り立ちます。

$\overrightarrow{AB} = (8-2, 1-3, 8-6) = (6, -2, 2)$

$\overrightarrow{AC} = (-1-2, x-3, y-6) = (-3, x-3, y-6)$

$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ より、

$(-3, x-3, y-6) = k(6, -2, 2) = (6k, -2k, 2k)$

各成分を比較すると、以下の3つの式が得られます。

$-3 = 6k$

$x-3 = -2k$

$y-6 = 2k$

1番目の式から $k = -\frac{1}{2}$ が得られます。

これを2番目の式に代入すると、$x-3 = -2(-\frac{1}{2}) = 1$ より $x = 4$ となります。

これを3番目の式に代入すると、$y-6 = 2(-\frac{1}{2}) = -1$ より $y = 5$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 4$, $y = 11$

(2) $x = 4$, $y = 5$