$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, $a^2+ab+b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, $a^2+ab+b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ を有理化します。

分子と分母に $\sqrt{6}+2$ を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{6}-2} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{6-4} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{2} = \sqrt{6}+2$

$\sqrt{6}$ の値を考えます。

$2^2=4$ で $3^2=9$ であるので、$2 < \sqrt{6} < 3$ であることが分かります。

$\sqrt{6} \approx 2.449$

よって、$\sqrt{6}+2 \approx 2.449 + 2 = 4.449$

整数部分 $a$ は4です。

小数部分 $b$ は $\sqrt{6}+2$ から整数部分を引いたものなので、

$b = (\sqrt{6}+2) - 4 = \sqrt{6}-2$

最後に $a^2+ab+b^2$ の値を計算します。

$a^2+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 - ab = (a+b)^2 - ab$

$a+b = 4 + (\sqrt{6}-2) = \sqrt{6}+2$

$(a+b)^2 = (\sqrt{6}+2)^2 = 6 + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 4\sqrt{6}$

$ab = 4(\sqrt{6}-2) = 4\sqrt{6} - 8$

$a^2+ab+b^2 = (10+4\sqrt{6}) - (4\sqrt{6}-8) = 10 + 4\sqrt{6} - 4\sqrt{6} + 8 = 18$

あるいは、$a^2+ab+b^2$ に $a=4, b=\sqrt{6}-2$ を代入して計算します。

$a^2+ab+b^2 = 4^2 + 4(\sqrt{6}-2) + (\sqrt{6}-2)^2 = 16 + 4\sqrt{6}-8 + (6 - 4\sqrt{6}+4) = 16+4\sqrt{6}-8+10-4\sqrt{6} = 18$

3. 最終的な答え

$a=4$

$b=\sqrt{6}-2$

$a^2+ab+b^2=18$