与えられた2つの2次関数について、平方完成を行い、最小値（または最大値）、x軸との交点、y軸との交点を求め、グラフを描く問題です。与えられた関数は以下の通りです。 (1) $y = x^2 + 2x + 3$ (2) $y = -x^2 + 4x + 5$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、平方完成を行い、最小値（または最大値）、x軸との交点、y軸との交点を求め、グラフを描く問題です。与えられた関数は以下の通りです。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$

(2) $y = -x^2 + 4x + 5$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 2x + 3$

* 平方完成: $x^2 + 2x$ の部分を $(x + a)^2 - a^2$ の形に変形します。

$y = (x + 1)^2 - 1 + 3 = (x + 1)^2 + 2$

* 頂点: 頂点は $(-1, 2)$ です。

* 最小値: $x = -1$ のとき、最小値は $y = 2$ です。

* x軸との交点: $y = 0$ となる $x$ を求めます。$(x + 1)^2 + 2 = 0$ を解くと、$(x + 1)^2 = -2$ となり、実数解は存在しません。したがって、x軸との交点はありません。

* y軸との交点: $x = 0$ のとき、$y = 0^2 + 2(0) + 3 = 3$。したがって、y軸との交点は $(0, 3)$ です。

(2) $y = -x^2 + 4x + 5$

* 平方完成: $-x^2 + 4x$ の部分を $-(x - a)^2 + a^2$ の形に変形します。

$y = -(x^2 - 4x) + 5 = -(x - 2)^2 + 4 + 5 = -(x - 2)^2 + 9$

* 頂点: 頂点は $(2, 9)$ です。

* 最大値: $x = 2$ のとき、最大値は $y = 9$ です。

* x軸との交点: $y = 0$ となる $x$ を求めます。$-(x - 2)^2 + 9 = 0$ を解くと、$(x - 2)^2 = 9$。したがって、$x - 2 = \pm 3$。$x = 2 + 3 = 5$ または $x = 2 - 3 = -1$。x軸との交点は $(-1, 0)$ と $(5, 0)$ です。

* y軸との交点: $x = 0$ のとき、$y = -0^2 + 4(0) + 5 = 5$。したがって、y軸との交点は $(0, 5)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = (x + 1)^2 + 2$

* 頂点: $(-1, 2)$

* 最小値: 2

* x軸との交点: なし

* y軸との交点: $(0, 3)$

(2) $y = -(x - 2)^2 + 9$

* 頂点: $(2, 9)$

* 最大値: 9

* x軸との交点: $(-1, 0), (5, 0)$

* y軸との交点: $(0, 5)$