与えられた関数の $x$ が負の無限大に近づくときの極限を求めます。関数は、$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x-3}{\sqrt{x^2+2x-3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が負の無限大に近づくときの極限を求めます。関数は、$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x-3}{\sqrt{x^2+2x-3}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母の根号の中の $x^2$ を $x^2 (1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2})$と書き換え、根号の外に出します。$x$ が負の無限大に近づくとき、$x < 0$ であるため、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x-3}{\sqrt{x^2+2x-3}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x-3}{\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2})}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x-3}{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}}$

ここで、$x \to -\infty$ のとき、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ であることに注意します。したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x-3}{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x-3}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}}$

次に、分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x-3}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{2x}{x}-\frac{3}{x}}{-\frac{x}{x}\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2-\frac{3}{x}}{-\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}}$

$x$ が負の無限大に近づくとき、$\frac{3}{x}$、$\frac{2}{x}$、$\frac{3}{x^2}$ は 0 に近づきます。したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2-\frac{3}{x}}{-\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}} = \frac{2-0}{-\sqrt{1+0-0}} = \frac{2}{-\sqrt{1}} = \frac{2}{-1} = -2$

3. 最終的な答え

-2