与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{\sin^2 x}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{\sin^2 x}$

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ という極限の公式を利用します。

まず、与えられた式を以下のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot \frac{x^2}{\sin^2 x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1$ です。

次に、$\frac{x^2}{\sin^2 x}$ を考えます。

$\frac{x^2}{\sin^2 x} = \left(\frac{x}{\sin x}\right)^2$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{1} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^2 = 1^2 = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^2 = 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

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