$\lim_{x \to \infty} x \tan \frac{1}{x}$ の極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} x \tan \frac{1}{x}$ の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \frac{1}{x}$ と置換します。すると、$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ となります。

したがって、与えられた極限は以下のように書き換えられます。

$\lim_{x \to \infty} x \tan \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \tan t = \lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t}$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t}$ は、$\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用することができます。

ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{dt} \tan t}{\frac{d}{dt} t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sec^2 t}{1} = \lim_{t \to 0} \sec^2 t$

ここで、$\sec t = \frac{1}{\cos t}$ なので、$\sec^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$ となります。

$t \to 0$ のとき、$\cos t \to 1$ であるから、$\cos^2 t \to 1$ となり、$\sec^2 t \to 1$ となります。

したがって、

$\lim_{t \to 0} \sec^2 t = 1$

別解として、$\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t}$ は、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{1}{\cos t}$と変形できます。

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$であり、$\lim_{t \to 0} \cos t = 1$であるため、

$\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$となります。

3. 最終的な答え

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