与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{3x}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{3x}$

2. 解き方の手順

この問題は、自然対数の底 $e$ の定義

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

を利用して解くことができます。

与えられた極限は、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{3x}$

と書けます。

指数法則を用いると、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{3x} = \lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{1}{x})^x]^3$

となります。

極限の性質より、べき乗の極限は極限のべき乗に等しいので、

$\lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{1}{x})^x]^3 = [\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x]^3$

となります。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

なので、

$[\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x]^3 = e^3$

となります。

3. 最終的な答え

$e^3$