次の極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x}{2x-1} \right)^x$

1. 問題の内容

次の極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x}{2x-1} \right)^x$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を $y$ とおきます。

$y = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x}{2x-1} \right)^x$

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \lim_{x \to \infty} x \ln \left( \frac{2x}{2x-1} \right)$

$\ln y = \lim_{x \to \infty} x \ln \left( \frac{2x-1+1}{2x-1} \right)$

$\ln y = \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{1}{2x-1} \right)$

ここで、$t = 1/x$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

$\ln y = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \ln \left( 1 + \frac{t}{2-t} \right)$

$\ln y = \lim_{t \to 0} \frac{\ln \left( 1 + \frac{t}{2-t} \right)}{t}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ を用いると、

$\ln y = \lim_{t \to 0} \frac{\ln \left( 1 + \frac{t}{2-t} \right)}{\frac{t}{2-t}} \cdot \frac{\frac{t}{2-t}}{t}$

$\ln y = \lim_{t \to 0} \frac{\ln \left( 1 + \frac{t}{2-t} \right)}{\frac{t}{2-t}} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{t}{t(2-t)}$

$\ln y = 1 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{2-t}$

$\ln y = \frac{1}{2}$

よって、$y = e^{1/2} = \sqrt{e}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{e}$