与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x}{2x - 1} \right)^x$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x}{2x - 1} \right)^x$

2. 解き方の手順

この極限は $1^\infty$ の不定形なので、自然対数を利用して解きます。

まず、$y = \left( \frac{2x}{2x - 1} \right)^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = x \ln \left( \frac{2x}{2x - 1} \right) = x \ln \left( \frac{2x - 1 + 1}{2x - 1} \right) = x \ln \left( 1 + \frac{1}{2x - 1} \right)$

次に、$\lim_{x \to \infty} \ln y$ を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{1}{2x - 1} \right)$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left( 1 + \frac{1}{2x - 1} \right)}{\frac{1}{x}}$

ここで、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left( 1 + \frac{1}{2x - 1} \right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{1}{2x - 1}} \cdot \frac{-2}{(2x - 1)^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x - 1}{2x} \cdot \frac{2}{(2x - 1)^2}}{\frac{1}{x^2}}$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{2x} \cdot \frac{2x^2}{(2x - 1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 2x^2}{4x^3 - 8x^2 + 4x - 2x^2 + 4x - 2 +2}=\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3-2x^2}{4x^3 - 10x^2 + 4x+2+2x}= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2(2x-1)}{4x^3 - 4x^2 +x}$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 2x^2}{4x^3 - 8x^2 + 4x-2}= \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x}}{4 - \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x^3}} = \frac{4}{4} = 1$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 1$

よって、$\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e$

3. 最終的な答え

$e$