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以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{2x}{2x-1} \right)^x$

解析学極限関数の極限指数関数
2025/5/6

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。
lim⁡x→−∞(2x2x−1)x\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{2x}{2x-1} \right)^x

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。
lim⁡x→−∞(2x2x−1)x=lim⁡x→−∞(2x−1+12x−1)x=lim⁡x→−∞(1+12x−1)x\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{2x}{2x-1} \right)^x = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{2x-1+1}{2x-1} \right)^x = \lim_{x \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{2x-1} \right)^x
ここで、y=2x−1y = 2x - 1 と置くと、x=(y+1)/2x = (y+1)/2 となります。また、x→−∞x \to -\infty のとき、y→−∞y \to -\infty となります。
したがって、
lim⁡x→−∞(1+12x−1)x=lim⁡y→−∞(1+1y)y+12=lim⁡y→−∞(1+1y)y2(1+1y)12\lim_{x \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{2x-1} \right)^x = \lim_{y \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{\frac{y+1}{2}} = \lim_{y \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{\frac{y}{2}} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{\frac{1}{2}}
ここで、z=−yz = -y と置くと、y=−zy = -z となります。また、y→−∞y \to -\infty のとき、z→∞z \to \infty となります。
lim⁡y→−∞(1+1y)y2=lim⁡z→∞(1−1z)−z2=lim⁡z→∞(z−1z)−z2=lim⁡z→∞(zz−1)z2=lim⁡z→∞(z−1+1z−1)z2=lim⁡z→∞(1+1z−1)z2\lim_{y \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{\frac{y}{2}} = \lim_{z \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{z} \right)^{-\frac{z}{2}} = \lim_{z \to \infty} \left( \frac{z-1}{z} \right)^{-\frac{z}{2}} = \lim_{z \to \infty} \left( \frac{z}{z-1} \right)^{\frac{z}{2}} = \lim_{z \to \infty} \left( \frac{z-1+1}{z-1} \right)^{\frac{z}{2}} = \lim_{z \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{z-1} \right)^{\frac{z}{2}}
さらに、w=z−1w = z - 1 と置くと、z=w+1z = w+1 となります。また、z→∞z \to \infty のとき、w→∞w \to \infty となります。
lim⁡z→∞(1+1z−1)z2=lim⁡w→∞(1+1w)w+12=lim⁡w→∞(1+1w)w2(1+1w)12\lim_{z \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{z-1} \right)^{\frac{z}{2}} = \lim_{w \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{w} \right)^{\frac{w+1}{2}} = \lim_{w \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{w} \right)^{\frac{w}{2}} \left( 1 + \frac{1}{w} \right)^{\frac{1}{2}}
lim⁡w→∞(1+1w)w2=(lim⁡w→∞(1+1w)w)12=e12=e\lim_{w \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{w} \right)^{\frac{w}{2}} = \left(\lim_{w \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{w} \right)^{w} \right)^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}
lim⁡w→∞(1+1w)12=1\lim_{w \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{w} \right)^{\frac{1}{2}} = 1
したがって、lim⁡z→∞(1+1z−1)z2=e\lim_{z \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{z-1} \right)^{\frac{z}{2}} = \sqrt{e}
また、lim⁡y→−∞(1+1y)12=1\lim_{y \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^{\frac{1}{2}} = 1
よって、
lim⁡x→−∞(1+12x−1)x=e⋅1=e\lim_{x \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{2x-1} \right)^x = \sqrt{e} \cdot 1 = \sqrt{e}

3. 最終的な答え

e\sqrt{e}

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