与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \infty} x^2 \left( \log \sqrt{x^2 + 3} - \log x \right) $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} x^2 \left( \log \sqrt{x^2 + 3} - \log x \right)$$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$$\log \sqrt{x^2 + 3} - \log x = \log \frac{\sqrt{x^2 + 3}}{x} = \log \sqrt{\frac{x^2 + 3}{x^2}} = \log \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}} = \frac{1}{2} \log \left(1 + \frac{3}{x^2} \right)$$

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} x^2 \left( \log \sqrt{x^2 + 3} - \log x \right) = \lim_{x \to \infty} x^2 \left( \frac{1}{2} \log \left(1 + \frac{3}{x^2} \right) \right) = \frac{1}{2} \lim_{x \to \infty} x^2 \log \left(1 + \frac{3}{x^2} \right)$$

ここで、$t = \frac{1}{x^2}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ なので、

$$\frac{1}{2} \lim_{x \to \infty} x^2 \log \left(1 + \frac{3}{x^2} \right) = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log (1 + 3t) = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\log (1 + 3t)}{t}$$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ を使うために、

$$\frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\log (1 + 3t)}{t} = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\log (1 + 3t)}{3t} \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = \frac{3}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$