関数 $f(x) = 3\sin x + 4\cos x$ について、 $0 \le x \le \pi$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3\sin x + 4\cos x$ について、 $0 \le x \le \pi$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を三角関数の合成を使って変形します。

$f(x) = 3\sin x + 4\cos x = \sqrt{3^2 + 4^2}\sin(x + \alpha) = 5\sin(x + \alpha)$

ただし、$\alpha$ は $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ を満たす角です。

$0 \le x \le \pi$ より、$\alpha \le x + \alpha \le \pi + \alpha$ です。

$\sin \alpha = \frac{4}{5} > 0$ かつ $\cos \alpha = \frac{3}{5} > 0$ より、$\alpha$ は第1象限の角であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ です。

$\sin(x + \alpha)$ の最大値は $x + \alpha = \frac{\pi}{2}$ のとき $1$ です。つまり、$x = \frac{\pi}{2} - \alpha$ のとき最大値 $5$ をとります。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、 $0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるため、$0 \le x \le \pi$ の範囲に含まれます。

$\sin(x + \alpha)$ の最小値を考えます。

$\pi + \alpha > \pi$ であるので、$x + \alpha$ の範囲 $[\alpha, \pi + \alpha]$ に $\pi$ が含まれるかどうかで場合分けする必要はありません。$\sin(x+\alpha)$は$x+\alpha = \pi + \alpha$、つまり$x=\pi$のとき最小値を取ります。

$x = \pi$ のとき、$f(\pi) = 3\sin \pi + 4\cos \pi = 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = -4$

$x = 0$ のとき、$f(0) = 3\sin 0 + 4\cos 0 = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4$

$\sin(x + \alpha)$ の最小値は $x=\pi$ のときの $f(\pi) = -4$ です。

3. 最終的な答え

最大値：5

最小値：-4