半径1の球に内接する円柱の体積 $V$ の最大値を求める。円柱の高さは $h$、底面の半径は $r$ である。

1. 問題の内容

半径1の球に内接する円柱の体積 $V$ の最大値を求める。円柱の高さは $h$、底面の半径は $r$ である。

2. 解き方の手順

まず、球に内接する円柱の高さ $h$ と底面の半径 $r$ の関係式を求める。

球の中心から円柱の底面までの距離を $h/2$ とすると、ピタゴラスの定理より、

$$r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = 1^2$$

$$r^2 = 1 - \frac{h^2}{4}$$

円柱の体積 $V$ は、

$$V = \pi r^2 h$$

上記の $r^2$ の関係式を代入すると、

$$V = \pi \left(1 - \frac{h^2}{4}\right) h = \pi \left(h - \frac{h^3}{4}\right)$$

$V$ を $h$ で微分し、極値を求める。

$$\frac{dV}{dh} = \pi \left(1 - \frac{3h^2}{4}\right)$$

$\frac{dV}{dh} = 0$ となる $h$ を求める。

$$1 - \frac{3h^2}{4} = 0$$

$$\frac{3h^2}{4} = 1$$

$$h^2 = \frac{4}{3}$$

$$h = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

$h$ は高さなので、$h > 0$ より、$h = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

次に、$\frac{d^2V}{dh^2}$ を計算し、$h = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ での符号を調べる。

$$\frac{d^2V}{dh^2} = \pi \left(-\frac{6h}{4}\right) = -\frac{3\pi h}{2}$$

$h = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき、$\frac{d^2V}{dh^2} = -\frac{3\pi}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}\pi < 0$ なので、$V$ は極大値を取る。

$h = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき、$r^2 = 1 - \frac{h^2}{4} = 1 - \frac{4/3}{4} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、体積 $V$ の最大値は、

$$V = \pi r^2 h = \pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}\pi}{9}$$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{3}\pi}{9}$