次の3つの関数の極値を求めよ。 (1) $f(x) = x^2e^{-x}$ (2) $f(x) = x \log x$ (3) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

1. 問題の内容

次の3つの関数の極値を求めよ。

(1) $f(x) = x^2e^{-x}$

(2) $f(x) = x \log x$

(3) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2e^{-x}$ の場合

まず、導関数 $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x(2-x)e^{-x}$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$e^{-x} > 0$ なので、$x(2-x) = 0$ となり、$x = 0, 2$ である。

$f'(x)$ の符号の変化を調べる。

- $x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

- $0 < x < 2$ のとき、$f'(x) > 0$

- $x > 2$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x = 0$ で極小値、 $x = 2$ で極大値をとる。

$f(0) = 0^2 e^{-0} = 0$

$f(2) = 2^2 e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$

(2) $f(x) = x \log x$ の場合

定義域は $x > 0$ である。

$f'(x) = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$\log x + 1 = 0$ より $\log x = -1$ となり、$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ である。

$f'(x)$ の符号の変化を調べる。

- $0 < x < \frac{1}{e}$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x > \frac{1}{e}$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = \frac{1}{e}$ で極小値をとる。

$f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log \frac{1}{e} = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$

(3) $f(x) = x + \frac{2}{x}$ の場合

定義域は $x \ne 0$ である。

$f'(x) = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$x^2 - 2 = 0$ より、$x = \pm \sqrt{2}$ である。

$f'(x)$ の符号の変化を調べる。

- $x < -\sqrt{2}$ のとき、$f'(x) > 0$

- $-\sqrt{2} < x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

- $0 < x < \sqrt{2}$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x > \sqrt{2}$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = -\sqrt{2}$ で極大値、$x = \sqrt{2}$ で極小値をとる。

$f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2}$

$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x=0$ で極小値 $0$、$x=2$ で極大値 $\frac{4}{e^2}$

(2) $x=\frac{1}{e}$ で極小値 $-\frac{1}{e}$

(3) $x=-\sqrt{2}$ で極大値 $-2\sqrt{2}$、$x=\sqrt{2}$ で極小値 $2\sqrt{2}$