与えられた関数の極値を求める問題です。 (1) $f(x) = |x|(x+1)$ (2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$

1. 問題の内容

与えられた関数の極値を求める問題です。

(1) $f(x) = |x|(x+1)$

(2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |x|(x+1)$

$x \geq 0$ のとき、$f(x) = x(x+1) = x^2 + x$

$x < 0$ のとき、$f(x) = -x(x+1) = -x^2 - x$

$f'(x)$ を求めます。

$x > 0$ のとき、$f'(x) = 2x + 1$

$x < 0$ のとき、$f'(x) = -2x - 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x > 0$ のとき、$2x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$ (不適)

$x < 0$ のとき、$-2x - 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$

$x = 0$ での微分可能性を調べます。

$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + x}{x} = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$

$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x^2 - x}{x} = \lim_{x \to 0^-} (-x - 1) = -1$

$f'(0^+) \neq f'(0^-)$ より、$x = 0$ で微分不可能。

増減表を書きます。

$x$ | $-\infty$ | | $-\frac{1}{2}$ | | 0 | | $\infty$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | | + | 0 | - | (なし) | + |

$f(x)$ | | $\nearrow$ | $\frac{1}{4}$ | $\searrow$ | 0 | $\nearrow$ |

したがって、

$x = -\frac{1}{2}$ のとき極大値 $f(-\frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$x = 0$ のとき極小値 $f(0) = 0$

(2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$

定義域は $x \geq -2$ です。

$x \geq 0$ のとき、$f(x) = x\sqrt{x+2}$

$-2 \leq x < 0$ のとき、$f(x) = -x\sqrt{x+2}$

$f'(x)$ を求めます。

$x > 0$ のとき、$f'(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2) + x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$

$-2 < x < 0$ のとき、$f'(x) = -\sqrt{x+2} - \frac{x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{-2(x+2) - x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{-3x-4}{2\sqrt{x+2}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x > 0$ のとき、$3x+4 = 0$ より $x = -\frac{4}{3}$ (不適)

$-2 < x < 0$ のとき、$-3x-4 = 0$ より $x = -\frac{4}{3}$

$x = 0$ での微分可能性を調べます。

$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x\sqrt{x+2}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x+2} = \sqrt{2}$

$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x\sqrt{x+2}}{x} = \lim_{x \to 0^-} -\sqrt{x+2} = -\sqrt{2}$

$f'(0^+) \neq f'(0^-)$ より、$x = 0$ で微分不可能。

増減表を書きます。

$x$ | -2 | | $-\frac{4}{3}$ | | 0 | | $\infty$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | | + | 0 | - | (なし) | + |

$f(x)$ | 0 | $\nearrow$ | $\frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3}}$ | $\searrow$ | 0 | $\nearrow$ |

したがって、

$x = -\frac{4}{3}$ のとき極大値 $f(-\frac{4}{3}) = -(-\frac{4}{3})\sqrt{-\frac{4}{3} + 2} = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{9}$

$x = 0$ のとき極小値 $f(0) = 0$

$x = -2$ のとき極小値 $f(-2) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $f(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$, 極小値: $f(0) = 0$

(2) 極大値: $f(-\frac{4}{3}) = \frac{4\sqrt{6}}{9}$, 極小値: $f(0) = 0$, $f(-2) = 0$