関数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ (ただし $0 \le x < 2\pi$) について、以下の問いに答えます。 (1) 関数の最大値、最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。 (2) $y = 0$ となる $x$ の値を求めます。 (3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ (ただし $0 \le x < 2\pi$) について、以下の問いに答えます。

(1) 関数の最大値、最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

(2) $y = 0$ となる $x$ の値を求めます。

(3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数の最大値、最小値を求めるために、$y$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = 2(\sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$

$0 \le x < 2\pi$ なので、$-\frac{\pi}{3} \le x - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

したがって、$-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{3}) \le 1$

最大値：$2$ ($x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ つまり $x = \frac{5\pi}{6}$ のとき)

最小値：$-2$ ($x - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ つまり $x = \frac{11\pi}{6}$ のとき)

(2) $y = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$

$x - \frac{\pi}{3} = 0, \pi$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めます。

$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) \le 0$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) \le 0$

$-\frac{\pi}{3} \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{3}$ において、$\sin(x - \frac{\pi}{3}) \le 0$ となるのは、

$\pi \le x - \frac{\pi}{3} < 2\pi$

$\pi + \frac{\pi}{3} \le x < 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\frac{4\pi}{3} \le x < \frac{7\pi}{3}$

ただし、$x < 2\pi$ より、$x < \frac{6\pi}{3}$ なので、$x$ の範囲は $\frac{4\pi}{3} \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $2$ ($x = \frac{5\pi}{6}$ のとき), 最小値: $-2$ ($x = \frac{11\pi}{6}$ のとき)

(2) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(3) $\frac{4\pi}{3} \le x < 2\pi$