複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、次の点がそれぞれどのように移動した点であるかを答える問題です。 (1) $(1-i)z$ (2) $(-1+\sqrt{3}i)z$

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、次の点がそれぞれどのように移動した点であるかを答える問題です。

(1) $(1-i)z$

(2) $(-1+\sqrt{3}i)z$

2. 解き方の手順

複素数 $a+bi$ ($a$, $b$ は実数) をかける操作は、複素数平面上で原点を中心とした回転と拡大/縮小に対応します。

具体的には、$a+bi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表したとき、$r$ は拡大率、$\theta$ は回転角を表します。

(1) $1-i$ について考えます。

まず、絶対値を求めます。

$|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

次に、偏角 $\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = -\frac{\pi}{4}$ (または $-\frac{\pi}{4} + 2n\pi$, $n$は整数) となります。

したがって、$1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

よって、$(1-i)z$ は、$z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{4}$ (時計回りに $\frac{\pi}{4}$) 回転させ、$\sqrt{2}$ 倍に拡大した点です。

(2) $-1+\sqrt{3}i$ について考えます。

まず、絶対値を求めます。

$|-1+\sqrt{3}i| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

次に、偏角 $\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{-1}{2}, \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ となります。

したがって、$-1+\sqrt{3}i = 2(\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3}))$

よって、$(-1+\sqrt{3}i)z$ は、$z$ を原点中心に $\frac{2\pi}{3}$ 回転させ、2倍に拡大した点です。

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転させ、$\sqrt{2}$ 倍に拡大した点

(2) 原点を中心に $\frac{2\pi}{3}$ 回転させ、2倍に拡大した点