複素数 $z = 6 + 2i$ を、原点を中心に与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。角度は (1) $\frac{\pi}{4}$、(2) $-\frac{\pi}{3}$、(3) $\frac{\pi}{2}$、(4) $\frac{5\pi}{6}$ の４つです。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 + 2i$ を、原点を中心に与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。角度は (1) $\frac{\pi}{4}$、(2) $-\frac{\pi}{3}$、(3) $\frac{\pi}{2}$、(4) $\frac{5\pi}{6}$ の４つです。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $\theta$ だけ回転させるには、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を掛けます。それぞれの角度について、回転後の複素数を計算します。

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、

$(6+2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3\sqrt{2} + 3i\sqrt{2} + i\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 4i\sqrt{2}$

(2) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ のとき

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$、$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$e^{-i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、

$(6+2i)(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3 - 3i\sqrt{3} + i - i^2\sqrt{3} = 3 + \sqrt{3} + i(1 - 3\sqrt{3})$

(3) $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき

$\cos\frac{\pi}{2} = 0$、$\sin\frac{\pi}{2} = 1$ なので、

$e^{i\frac{\pi}{2}} = i$

よって、

$(6+2i)i = 6i + 2i^2 = -2 + 6i$

(4) $\theta = \frac{5\pi}{6}$ のとき

$\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ なので、

$e^{i\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

よって、

$(6+2i)(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -3\sqrt{3} + 3i - i\sqrt{3} - 1 = -3\sqrt{3} - 1 + i(3-\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$

(2) $3 + \sqrt{3} + (1 - 3\sqrt{3})i$

(3) $-2 + 6i$

(4) $-1 - 3\sqrt{3} + (3 - \sqrt{3})i$