与えられたベクトル $a, b, c, d, e, v, w, u$ に対して、いくつかの計算、中点の計算、ベクトルを他のベクトルの線形結合で表現する問題、およびその図示の問題です。具体的には、(1)ではベクトルの演算、(2)では中点の座標、(3),(4)ではベクトルを他のベクトルの線形結合で表現し、(5)では(3),(4)の結果を図示します。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $a, b, c, d, e, v, w, u$ に対して、いくつかの計算、中点の計算、ベクトルを他のベクトルの線形結合で表現する問題、およびその図示の問題です。具体的には、(1)ではベクトルの演算、(2)では中点の座標、(3),(4)ではベクトルを他のベクトルの線形結合で表現し、(5)では(3),(4)の結果を図示します。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの演算:

a) $-ae = - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 2*1 \\ 3*(-2) \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

b) $3a - 2e = 3\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 13 \end{pmatrix}$

c) $d - 3w + u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}$

Note: d, w, u are vectors of dimension 3, and d is given with one more element. I suppose that last element should be ignored. It is not possible to calculate this expression otherwise. Also, w and u are 3 dimensional vectors and b is scalar. I am assuming w, v, u should be vectors of dimension

2.

d) $b + v = -3 + 1 = -2$ (Since b and v are scalars)

Note: I am assuming w, v, u should be vectors of dimension 2 and this is just a typo. It is not possible to add scalar to a vector.

e) $2(c - 3w) - (2c - w + u) = 2c - 6w - 2c + w - u = -5w - u = -5 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ -15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -6 \\ -17 \end{pmatrix}$

(2) 中点の座標:

中点の座標は $\frac{a+e}{2} = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 \\ 1/2 \end{pmatrix}$

(3) ベクトル $p$ の表現:

$p = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} = xa + ye = x\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y \\ 3x - 2y \end{pmatrix}$

連立方程式を解く:

$2x + y = 5$

$3x - 2y = 4$

$4x + 2y = 10$

$7x = 14$

$x = 2$

$y = 5 - 2x = 5 - 4 = 1$

したがって、$p = 2a + e$

(4) ベクトル $p$ の表現:

$p = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = xc + yw = x\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x \\ -x + y \\ 2x + 3y \end{pmatrix}$

連立方程式を解く:

$4x = 1$

$-x + y = 0$

$2x + 3y = 0$

$x = \frac{1}{4}$

$y = x = \frac{1}{4}$

$2(\frac{1}{4}) + 3(\frac{1}{4}) = \frac{5}{4} \ne 0$. したがって、このようなx, yは存在しない。問題に誤りがあるか、または条件を満たすx, yは存在しない。

問題文は、p= (1,0)をxc+ywで表すとなっているので、2次元ベクトルとして考えます。

$p = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = xc + yw = x\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x + y \\ -x + 3y \end{pmatrix}$

連立方程式を解く:

$4x + y = 1$

$-x + 3y = 0$

$x = 3y$

$12y + y = 1$

$13y = 1$

$y = \frac{1}{13}$

$x = \frac{3}{13}$

したがって、$p = \frac{3}{13}c + \frac{1}{13}w$

(5) 図示:

(3)では、ベクトルpはベクトルaの2倍とベクトルeを足したものである。

(4)では、ベクトルpはベクトルcの3/13倍とベクトルwの1/13倍を足したものである。

座標軸なしでこれらの関係を示す図を描くことは、おおよその方向と長さの関係を示すことになります。ベクトルaとeをそれぞれ描き、2aを描き、2a+e=pとなるようにpを描きます。同様にcとwを描き、(3/13)cと(1/13)wを描き、それらを足してpとなるように描きます。

3. 最終的な答え

(1)

a) $\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

b) $\begin{pmatrix} 4 \\ 13 \end{pmatrix}$

c) $\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}$

d) $-2$

e) $\begin{pmatrix} -5 \\ -6 \\ -17 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3/2 \\ 1/2 \end{pmatrix}$

(3) $p = 2a + e$

(4) $p = \frac{3}{13}c + \frac{1}{13}w$

(5) 図は省略 (上記の説明を参照)