以下の8つの対数の値を求めます。 (1) $\log_7 49$ (2) $\log_2 64$ (3) $\log_5 5$ (4) $\log_4 1$ (5) $\log_3 \frac{1}{81}$ (6) $\log_{\sqrt{2}} 8$ (7) $\log_{0.2} 125$ (8) $\log_{36} \sqrt{\frac{1}{6}}$

はい、承知いたしました。与えられた対数の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の8つの対数の値を求めます。

(1) $\log_7 49$

(2) $\log_2 64$

(3) $\log_5 5$

(4) $\log_4 1$

(5) $\log_3 \frac{1}{81}$

(6) $\log_{\sqrt{2}} 8$

(7) $\log_{0.2} 125$

(8) $\log_{36} \sqrt{\frac{1}{6}}$

2. 解き方の手順

各対数の値を計算します。対数の定義 $log_a b = x$ は $a^x = b$ と同値であることを利用します。

(1) $\log_7 49$：

$7^x = 49$ となる $x$ を求める。$49 = 7^2$ なので、$x = 2$。

(2) $\log_2 64$：

$2^x = 64$ となる $x$ を求める。$64 = 2^6$ なので、$x = 6$。

(3) $\log_5 5$：

$5^x = 5$ となる $x$ を求める。$5 = 5^1$ なので、$x = 1$。

(4) $\log_4 1$：

$4^x = 1$ となる $x$ を求める。$1 = 4^0$ なので、$x = 0$。

(5) $\log_3 \frac{1}{81}$：

$3^x = \frac{1}{81}$ となる $x$ を求める。$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$ なので、$x = -4$。

(6) $\log_{\sqrt{2}} 8$：

$(\sqrt{2})^x = 8$ となる $x$ を求める。$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ なので、$(2^{\frac{1}{2}})^x = 2^{\frac{x}{2}} = 8 = 2^3$。よって、$\frac{x}{2} = 3$ より、$x = 6$。

(7) $\log_{0.2} 125$：

$(0.2)^x = 125$ となる $x$ を求める。$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$、 $125 = 5^3$ なので、$(5^{-1})^x = 5^{-x} = 5^3$。よって、$-x = 3$ より、$x = -3$。

(8) $\log_{36} \sqrt{\frac{1}{6}}$：

$36^x = \sqrt{\frac{1}{6}}$ となる $x$ を求める。$\sqrt{\frac{1}{6}} = (\frac{1}{6})^{\frac{1}{2}} = (6^{-1})^{\frac{1}{2}} = 6^{-\frac{1}{2}}$。また、$36 = 6^2$ なので、$(6^2)^x = 6^{2x} = 6^{-\frac{1}{2}}$。よって、$2x = -\frac{1}{2}$ より、$x = -\frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 6

(3) 1

(4) 0

(5) -4

(6) 6

(7) -3

(8) -1/4