次の2次方程式について、与えられた解の関係を用いて、定数 $m$ の値と2つの解を求めます。 (1) $x^2 + mx + 27 = 0$ (1つの解が他の解の3倍) (2) $x^2 - 14x + 2m = 0$ (2つの解の比が3:4) (3) $x^2 - (m+1)x + 2 = 0$ (2つの解の差が1) (4) $x^2 - 6x + m = 0$ (1つの解が他の解の2乗)

1. 問題の内容

次の2次方程式について、与えられた解の関係を用いて、定数 $m$ の値と2つの解を求めます。

(1) $x^2 + mx + 27 = 0$ (1つの解が他の解の3倍)

(2) $x^2 - 14x + 2m = 0$ (2つの解の比が3:4)

(3) $x^2 - (m+1)x + 2 = 0$ (2つの解の差が1)

(4) $x^2 - 6x + m = 0$ (1つの解が他の解の2乗)

2. 解き方の手順

(1)

2つの解を $\alpha$, $3\alpha$ とおきます。解と係数の関係より、

$\alpha + 3\alpha = -m$

$4\alpha = -m$ ...(1)

$\alpha \cdot 3\alpha = 27$

$3\alpha^2 = 27$

$\alpha^2 = 9$

$\alpha = \pm 3$

$\alpha = 3$ のとき、$m = -4\alpha = -12$。解は $3, 9$

$\alpha = -3$ のとき、$m = -4\alpha = 12$。解は $-3, -9$

(2)

2つの解を $3\alpha$, $4\alpha$ とおきます。解と係数の関係より、

$3\alpha + 4\alpha = 14$

$7\alpha = 14$

$\alpha = 2$

$3\alpha \cdot 4\alpha = 2m$

$12\alpha^2 = 2m$

$m = 6\alpha^2 = 6(2^2) = 24$。

解は $3\alpha = 6$, $4\alpha = 8$

(3)

2つの解を $\alpha$, $\alpha + 1$ とおきます。解と係数の関係より、

$\alpha + (\alpha + 1) = m + 1$

$2\alpha + 1 = m + 1$

$m = 2\alpha$ ...(1)

$\alpha (\alpha + 1) = 2$

$\alpha^2 + \alpha - 2 = 0$

$(\alpha + 2)(\alpha - 1) = 0$

$\alpha = -2, 1$

$\alpha = -2$ のとき、$m = 2\alpha = -4$。解は $-2, -1$

$\alpha = 1$ のとき、$m = 2\alpha = 2$。解は $1, 2$

(4)

2つの解を $\alpha$, $\alpha^2$ とおきます。解と係数の関係より、

$\alpha + \alpha^2 = 6$

$\alpha^2 + \alpha - 6 = 0$

$(\alpha + 3)(\alpha - 2) = 0$

$\alpha = -3, 2$

$\alpha \cdot \alpha^2 = m$

$\alpha^3 = m$

$\alpha = -3$ のとき、$m = (-3)^3 = -27$。解は $-3, 9$

$\alpha = 2$ のとき、$m = 2^3 = 8$。解は $2, 4$

3. 最終的な答え

(1) $m = -12$ のとき、解は $3, 9$。$m = 12$ のとき、解は $-3, -9$

(2) $m = 24$ のとき、解は $6, 8$

(3) $m = -4$ のとき、解は $-2, -1$。$m = 2$ のとき、解は $1, 2$

(4) $m = -27$ のとき、解は $-3, 9$。$m = 8$ のとき、解は $2, 4$