不等式 $5(x-1) < 2(2x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=6$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

代数学不等式一次不等式整数解
2025/5/7

1. 問題の内容

不等式 5(x1)<2(2x+a)5(x-1) < 2(2x+a) を満たす最大の整数 xxx=6x=6 であるとき、定数 aa の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式 5(x1)<2(2x+a)5(x-1) < 2(2x+a)xx について解きます。
5x5<4x+2a5x - 5 < 4x + 2a
5x4x<2a+55x - 4x < 2a + 5
x<2a+5x < 2a + 5
不等式を満たす最大の整数 xx66 であるということは、x<2a+5x < 2a + 5 を満たす最大の整数が 66 であるということです。これは、6<2a+576 < 2a + 5 \leq 7 が成り立つことを意味します。
6<2a+56 < 2a + 5 より、
1<2a1 < 2a
12<a\frac{1}{2} < a
2a+572a + 5 \leq 7 より、
2a22a \leq 2
a1a \leq 1
したがって、aa の範囲は 12<a1\frac{1}{2} < a \leq 1 となります。

3. 最終的な答え

12<a1\frac{1}{2} < a \leq 1

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