与えられた4つの2次式を、複素数の範囲で因数分解します。 (1) $x^2 - 6x + 4$ (2) $2x^2 - 3x - 1$ (3) $x^2 + 4$ (4) $3x^2 + 4x + 2$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次式を、複素数の範囲で因数分解します。

(1) $x^2 - 6x + 4$

(2) $2x^2 - 3x - 1$

(3) $x^2 + 4$

(4) $3x^2 + 4x + 2$

2. 解き方の手順

各2次式について、まず解の公式を用いて解を求めます。その後、解を $\alpha$, $\beta$ とすると、$a(x - \alpha)(x - \beta)$ の形に因数分解します。ここで $a$ は2次の係数です。

(1) $x^2 - 6x + 4 = 0$ の解を求める。

解の公式より、$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$

よって、因数分解は $(x - (3 + \sqrt{5}))(x - (3 - \sqrt{5}))$

(2) $2x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求める。

解の公式より、$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

よって、因数分解は $2(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{4})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

(3) $x^2 + 4 = 0$ の解を求める。

$x^2 = -4$

$x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$

よって、因数分解は $(x - 2i)(x + 2i)$

(4) $3x^2 + 4x + 2 = 0$ の解を求める。

解の公式より、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 24}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}i}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}i}{3}$

よって、因数分解は $3(x - \frac{-2 + \sqrt{2}i}{3})(x - \frac{-2 - \sqrt{2}i}{3})$

3. 最終的な答え

(1) $(x - (3 + \sqrt{5}))(x - (3 - \sqrt{5}))$

(2) $2(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{4})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

(3) $(x - 2i)(x + 2i)$

(4) $3(x - \frac{-2 + \sqrt{2}i}{3})(x - \frac{-2 - \sqrt{2}i}{3})$