数列 {c_n} が与えられており、その数列を群に分ける。各群に含まれる項の個数や和に関する問題、および特定の項が数列の何番目に現れるか、という問題。また、ある条件を満たす項が出現するための必要十分条件を求める問題。

1. 問題の内容

数列 {c_n} が与えられており、その数列を群に分ける。各群に含まれる項の個数や和に関する問題、および特定の項が数列の何番目に現れるか、という問題。また、ある条件を満たす項が出現するための必要十分条件を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

第5群の2番目の項を求める問題。

まず、各群に含まれる項の個数を確認する。第 m 群には 2m-1 個の項が含まれる。

したがって、第5群の2番目の項は $\frac{5}{8} \cdot \frac{1}{10}$ である。 コ=5, サシ=10。

次に、$\frac{5}{12}$ である項が初めて現れるのが何番目かを考える。

$\frac{5}{12}$ は第3群の5番目の項である。

したがって、ス=3, セ=5 となる。

第3群の最後の項の番号を計算する。第1群: 1項、第2群: 3項、第3群: 5項。合計 1+3+5 = 9 項。

したがって、$\frac{5}{12}$ は数列の9+5 = 14番目である。ソタ=14

(2) 第 m 群に含まれるすべての項の和 S_m を計算する。

第 m 群には 2m-1 個の項が含まれる。

第 m 群に含まれる項は $\frac{m}{2m-1} \cdot \frac{1}{2m} \frac{m}{2m-1} \cdot \frac{2}{2m}, ... , \frac{m}{2m-1} \cdot \frac{2m-1}{2m}$ である。

これらの和は

$S_m = \frac{m}{2m-1} (\frac{1}{2m} + \frac{2}{2m} + ... + \frac{2m-1}{2m}) = \frac{m}{2m-1} \cdot \frac{1}{2m} \cdot \frac{(2m-1)(2m)}{2} = \frac{m(2m-1)}{2m} \frac{2m}{2(2m-1)} \frac{m}{2}$

S_m = m/2

したがって、チ = m/2

3. 最終的な答え

コ: 5

サシ: 10

ス: 3

セ: 5

ソタ: 14

チ: m/2