問題５は、一の位が5である2桁の自然数を2乗した値を簡単に求める方法を、$a$を9以下の自然数として$(10a+5)^2$の展開式から考察せよ、というものです。

1. 問題の内容

問題５は、一の位が5である2桁の自然数を2乗した値を簡単に求める方法を、$a$を9以下の自然数として$(10a+5)^2$の展開式から考察せよ、というものです。

2. 解き方の手順

$(10a+5)^2$を展開します。

$(10a+5)^2 = (10a)^2 + 2 \cdot (10a) \cdot 5 + 5^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100(a^2 + a) + 25 = 100a(a+1) + 25$

したがって、一の位が5である2桁の自然数を2乗した値は、$100a(a+1) + 25$で求められます。

具体的には、

- 35の2乗は、$a=3$なので、$100 \cdot 3 \cdot (3+1) + 25 = 100 \cdot 3 \cdot 4 + 25 = 1200 + 25 = 1225$

- 45の2乗は、$a=4$なので、$100 \cdot 4 \cdot (4+1) + 25 = 100 \cdot 4 \cdot 5 + 25 = 2000 + 25 = 2025$

- 55の2乗は、$a=5$なので、$100 \cdot 5 \cdot (5+1) + 25 = 100 \cdot 5 \cdot 6 + 25 = 3000 + 25 = 3025$

のように計算できます。

3. 最終的な答え

一の位が5である2桁の自然数$10a+5$の2乗の値は、$100a(a+1)+25$で計算できる。言い換えると、$a$と$a+1$の積に100をかけ、25を足したものである。