1から100までの自然数の中で、以下の条件を満たす数の和をそれぞれ求めます。 (1) 5の倍数 (2) 6の倍数 (3) 5と6の公倍数 (4) 5または6の倍数 (5) 6で割り切れない数

1. 問題の内容

1から100までの自然数の中で、以下の条件を満たす数の和をそれぞれ求めます。

(1) 5の倍数

(2) 6の倍数

(3) 5と6の公倍数

(4) 5または6の倍数

(5) 6で割り切れない数

2. 解き方の手順

(1) 5の倍数

1から100までの5の倍数は、5, 10, 15, ..., 100です。

これは初項5、公差5、末項100の等差数列です。

項数は $100/5 = 20$ です。

等差数列の和の公式は $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ なので、

$S = \frac{20(5 + 100)}{2} = \frac{20 \times 105}{2} = 10 \times 105 = 1050$

(2) 6の倍数

1から100までの6の倍数は、6, 12, 18, ..., 96です。

これは初項6、公差6、末項96の等差数列です。

項数は $96/6 = 16$ です。

等差数列の和の公式は $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ なので、

$S = \frac{16(6 + 96)}{2} = \frac{16 \times 102}{2} = 8 \times 102 = 816$

(3) 5と6の公倍数

5と6の最小公倍数は30なので、5と6の公倍数は30の倍数です。

1から100までの30の倍数は、30, 60, 90です。

これは初項30、公差30、末項90の等差数列です。

項数は $90/30 = 3$ です。

等差数列の和の公式は $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ なので、

$S = \frac{3(30 + 90)}{2} = \frac{3 \times 120}{2} = 3 \times 60 = 180$

(4) 5または6の倍数

5の倍数と6の倍数の和から、5と6の公倍数の和を引きます。

$1050 + 816 - 180 = 1866 - 180 = 1686$

(5) 6で割り切れない数

1から100までの自然数の和は $\frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$ です。

6の倍数の和は816です。

6で割り切れない数の和は $5050 - 816 = 4234$

3. 最終的な答え

(1) 5の倍数の和: 1050

(2) 6の倍数の和: 816

(3) 5と6の公倍数の和: 180

(4) 5または6の倍数の和: 1686

(5) 6で割り切れない数の和: 4234