数列 $\{a_n\}$ は初項1, 公差3の等差数列、数列 $\{b_n\}$ は初項5, 公差4の等差数列である。数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ に共通に含まれる項を順に並べると、どんな数列になるか。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項1, 公差3の等差数列、数列 $\{b_n\}$ は初項5, 公差4の等差数列である。数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ に共通に含まれる項を順に並べると、どんな数列になるか。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求める。

$a_n = 1 + (n-1)3 = 3n - 2$

$b_n = 5 + (n-1)4 = 4n + 1$

$a_l = b_m$ となる $l$ と $m$ を求める。

$3l - 2 = 4m + 1$

$3l = 4m + 3$

$l = \frac{4m+3}{3}$

$l$ は整数なので, $4m+3$ が3の倍数である必要がある。

$4m+3 = 3k$ となる整数 $k$ が存在すると仮定する。

$4m = 3k - 3 = 3(k-1)$

$m = \frac{3(k-1)}{4}$

$m$ も整数なので, $3(k-1)$ が4の倍数である必要がある。

3と4は互いに素なので, $k-1$ が4の倍数である必要がある。

よって $k-1 = 4n$ となる整数 $n$ が存在すると仮定する。

$k = 4n + 1$

これを $m = \frac{3(k-1)}{4}$ に代入すると,

$m = \frac{3(4n)}{4} = 3n$

これを $l = \frac{4m+3}{3}$ に代入すると,

$l = \frac{4(3n)+3}{3} = \frac{12n+3}{3} = 4n + 1$

共通に含まれる項は,

$a_{4n+1} = 3(4n+1) - 2 = 12n + 3 - 2 = 12n + 1$

$b_{3n} = 4(3n) + 1 = 12n + 1$

したがって、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ に共通に含まれる項は、初項が13 ($n=1$ のとき)、公差が12の等差数列となる。

3. 最終的な答え

初項13、公差12の等差数列