(1) $a+b+c+d=7$ かつ $a,b,c,d$ は正の整数であるとき、$(a,b,c,d)$ の組は何通りあるか。 (2) $a+b+c+d=7$ かつ $a,b,c,d$ は非負整数であるとき、$(a,b,c,d)$ の組は何通りあるか。 (3) 4種類の文字「す、う、が、く」を用いて6文字の文字列を作る。同じ文字を何度用いても良いとき、「す」と「う」の両方を含む文字列は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) $a+b+c+d=7$ かつ $a,b,c,d$ は正の整数であるとき、$(a,b,c,d)$ の組は何通りあるか。

(2) $a+b+c+d=7$ かつ $a,b,c,d$ は非負整数であるとき、$(a,b,c,d)$ の組は何通りあるか。

(3) 4種類の文字「す、う、が、く」を用いて6文字の文字列を作る。同じ文字を何度用いても良いとき、「す」と「う」の両方を含む文字列は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) $a,b,c,d$ は正の整数なので、$a=a'+1$, $b=b'+1$, $c=c'+1$, $d=d'+1$ とおくと、$a',b',c',d'$ は非負整数となり、

$a'+1 + b'+1 + c'+1 + d'+1 = 7$

$a' + b' + c' + d' = 3$

この非負整数解の個数を求める。これは、3個のボールを4つの箱に入れる場合の数に等しいので、仕切りを用いて考えると、3個のボールと3個の仕切りの並び方の場合の数である。

${}_{3+4-1}C_{4-1} = {}_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り

(2) $a,b,c,d$ は非負整数なので、これは7個のボールを4つの箱に入れる場合の数に等しい。仕切りを用いて考えると、7個のボールと3個の仕切りの並び方の場合の数である。

${}_{7+4-1}C_{4-1} = {}_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 通り

(3) 4種類の文字「す、う、が、く」を用いて6文字の文字列を作る場合の総数は $4^6 = 4096$ 通り。

「す」を含まない文字列は $3^6 = 729$ 通り。

「う」を含まない文字列は $3^6 = 729$ 通り。

「す」も「う」も含まない文字列は $2^6 = 64$ 通り。

「す」または「う」を含まない文字列は $3^6 + 3^6 - 2^6 = 729 + 729 - 64 = 1458 - 64 = 1394$ 通り。

したがって、「す」と「う」の両方を含む文字列は $4^6 - (3^6 + 3^6 - 2^6) = 4096 - 1394 = 2702$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 20 通り

(2) 120 通り

(3) 2702 通り