全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ が与えられています。部分集合 $A$ と $B$ について、$A \cap B = \{1, 2\}$, $\overline{A} \cap B = \{4, 7\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{3\}$ であるとき、$A$, $B$, $A \cup \overline{B}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ が与えられています。部分集合 $A$ と $B$ について、$A \cap B = \{1, 2\}$, $\overline{A} \cap B = \{4, 7\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{3\}$ であるとき、$A$, $B$, $A \cup \overline{B}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を整理します。

* $A \cap B = \{1, 2\}$ は、$1$ と $2$ が $A$ と $B$ の両方に属することを意味します。

* $\overline{A} \cap B = \{4, 7\}$ は、$4$ と $7$ が $A$ に属さず、$B$ に属することを意味します。

* $\overline{A} \cap \overline{B} = \{3\}$ は、$3$ が $A$ にも $B$ にも属さないことを意味します。

次に、集合 $A$ と $B$ を求めます。

* $A$ に属する要素は、$A \cap B$ の要素と、$B$ に属さない $A$ の要素です。$U$から$\{3, 4, 7\}$ を除いた $\{1,2,5,6\}$ から$A \cap B = \{1, 2\}$を除いた $\{5,6\}$を$A \cap B = \{1, 2\}$に加えることで、$A$は$\{1, 2, 5, 6\}$となります。

* $B$ に属する要素は、$A \cap B$ の要素と、$\overline{A} \cap B$ の要素です。したがって、$B = \{1, 2, 4, 7\}$ となります。

最後に、$A \cup \overline{B}$ を求めます。

まず、$\overline{B}$ を求めます。$\overline{B}$ は $U$ から $B$ の要素 $\{1, 2, 4, 7\}$ を除いた集合なので、$\overline{B} = \{3, 5, 6\}$ となります。

したがって、$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 5, 6\} \cup \{3, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 5, 6\}$ となります。

3. 最終的な答え

$A = \{1, 2, 5, 6\}$

$B = \{1, 2, 4, 7\}$

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6\}$