'nobunaga'の8文字を並び替える場合の総数と、'u'の左に少なくとも1つの'a'があるような並び方の数を求める問題です。

1. 問題の内容

'nobunaga'の8文字を並び替える場合の総数と、'u'の左に少なくとも1つの'a'があるような並び方の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

ア) 'nobunaga'の並べ方の総数を求めます。8文字のうち、'a'が3つ、'n'が2つ、'b', 'g', 'u', 'o'がそれぞれ1つです。したがって、並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算できます。

全体の並べ方は、

$\frac{8!}{3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 3360$通りです。

イ) 'u'の左に少なくとも1つの'a'がある並べ方の数を求めます。これは、全並び方から'u'の左に'a'が全くない並び方を引くことで計算できます。

'u'の左に'a'が全くない並び方を考えます。まず、'u'を一番左に固定し、残りの7文字('n', 'o', 'b', 'n', 'a', 'g', 'a', 'a' のうち'a'を3つ含む)を並べる場合を考えます。'u'は先頭に固定されているので、残りの7文字は $n, o, b, n, a, g, a, a$ となります。

'u'の左に'a'がない場合を考えるので、最初に、aを無視し、'u'の左に'a'がない状態を作ります。つまり、$n, o, b, n, g$ を並べ、その後に$a, a, a$を並べるという考え方は間違いです。

'u'の左に'a'が全くない並び方を計算するために、'u'と3つの'a'をまとめて考えます。これらを○で表し、○を４つの文字として扱います。残りの$n, o, b, n, g$ の4文字と合わせて、計8文字を並べることになります。ただし、'n'が2つあるので、並べ方は $\frac{7!}{2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ 通りです。

しかし、'u'が一番左にある場合のみを考えるわけではありません。'u'の左に少なくとも一つのaがある並べ方を求めるためには、全体から「uの左にaがない」並べ方を引く必要があります。「uの左にaがない」並べ方は、「uが3つのaよりも左にある」並べ方と同じです。u,a,a,a の並び方は4! / 3! = 4通りあります。そのうち、uaaa, auaa, aaua, aaau の順番で並びます。これらのuとaの並び順を固定し、残りのn, n, b, o, gの5文字と合わせ、合計8文字を並べる場合を考えます。nが2つあるので、全体の並び方は $\frac{8!}{3!2!} = 3360$ です。

uの左にaがない並べ方を求めるのが困難なので、直接計算する方針に変えます。

「uの左に少なくとも一つのaがある」

＝　「uの左にaが1つある」＋「uの左にaが2つある」＋「uの左にaが3つある」

という考え方は複雑になるので避けたいです。

uの左に少なくとも一つのaがある並べ方の総数 = 全体の並べ方 - uの左にaがない並べ方

ここで「uの左にaがない並べ方」＝「uが3つのaより左にない」

考え直します。「uの左にaがない並べ方」を直接数えることを試みます。

これは、まず u,n,o,b,n,g の６文字から順列を作り、その中から３つのaを入れる場所を選ぶと考えられます。　n,o,b,n,gの並べ方は5!/2! = 60通りです。

次に、６文字の並びの左、右、または文字の間にaを入れる場所を考えます。aを入れる場所は６文字の並びの7箇所になります。７箇所の中から３つを選ぶので、組み合わせは 7C3 = 7*6*5 / (3*2*1) = 35 通り。

したがって、「uの左にaがない」並べ方は 60*35 = 2100通り。

全体の並べ方3360通りからこれを引くと 3360 - 2100 = 1260通り。

3. 最終的な答え

ア: 3360

イ: 1260