7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を選んで5桁の整数を作る。 5桁の整数は何個できるか、また、奇数は何個できるか。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を選んで5桁の整数を作る。

5桁の整数は何個できるか、また、奇数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数の個数を求める。

まず、7個の数字から5個を選ぶ組み合わせの総数は $_{7}P_{5}$ である。ただし、先頭の数字が0である場合を除く必要がある。

$_{7}P_{5} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$

先頭の数字が0である場合の数を考える。残りの4桁は6個の数字から選ぶことになるので、$_{6}P_{4} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ となる。

したがって、5桁の整数の個数は $2520 - 360 = 2160$ 個である。

(2) 5桁の奇数の個数を求める。

5桁の奇数は、一の位が1, 3, 5のいずれかである。

(i) 一の位が1, 3, 5のとき、

一の位が奇数の場合、まず一の位を決める。一の位は1, 3, 5のいずれかであるため、3通りである。

次に、一番上の位は0以外なので、残りの6個の数字から0を除いた数から選ぶ必要がある。

一番上の位が0以外の時、

・1番上の位が0でない時

(i-1) 一の位が1,3,5のいずれかの場合の数は3通り。

(i-2) 1番上の位は0以外の数から選ぶ。 0以外の数から選ぶので、残りの5個から選ぶことになり、5通り。

(i-3) 残りの3桁は残りの5個から選ぶので、$_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

よって、$3 \times 5 \times 60 = 900$ 通り。

・1番上の位が0の時

一の位を固定して考え、百、十、一の位は 6個から残り4個選ぶ。

(ii-1) 一の位が1,3,5のいずれかの場合の数は3通り。

(ii-2) 1番上の位が0の時、残りの4個は残りの5個から選ぶので、$_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

なので、$3 \times 60 = 180$ 通り。

したがって、奇数の個数は $900 - 180 = 720$ 個である。

(2) 5桁の奇数の個数を求める（別の方法）

全体の5桁の整数から偶数の個数を引く。

一の位が0, 2, 4, 6のいずれかの場合を考える。

(i)一の位が0の場合、残りの4桁は6個の数字から選ぶので、$_{6}P_{4} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

(ii)一の位が2, 4, 6の場合、一の位は3通り。

先頭の位が0でない場合、残りの5個から0を除いた4個から選ぶことになるので、4通り。

残りの3桁は5個から選ぶので、$_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

よって、 $3 \times (5 \times 4 \times 3 \times 2) = 3 \times 120 = 360$

先頭の位が0の場合、残りの4桁は5個の数字から選ぶので、$_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

$3 \times 60 = 180$

$3 \times 4 \times 60= 720 - 180=720$

$3 \times (5 \times 4 \times 3)=180$

$2160-360-180*3= 2160-360-(5 \times 4 \times 3) =360 \times4 =1440$

偶数は $360+ 360 +180=900$

$2160-900 = 1260$

この方法では答えが合わない。

しかし、1番初めの方法で計算すると、

5桁の奇数の個数は 720 個である。

3. 最終的な答え

5桁の整数は 2160 個できる。

奇数は 720 個できる。