5種類の異なる果物がある。これらの果物を組み合わせて、最大5個の果物が入ったセットを1つ作りたい。ただし、セットの中に最低でも1つの果物は入れることとし、同じ種類の果物を2個以上入れないこととする。セットは何通りできるか。

1. 問題の内容

5種類の異なる果物がある。これらの果物を組み合わせて、最大5個の果物が入ったセットを1つ作りたい。ただし、セットの中に最低でも1つの果物は入れることとし、同じ種類の果物を2個以上入れないこととする。セットは何通りできるか。

2. 解き方の手順

5種類の果物から、1個、2個、3個、4個、5個選ぶ場合の数をそれぞれ計算し、それらを合計します。

組み合わせの公式は ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

1個選ぶ場合：

${}_5C_1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 5$ 通り

2個選ぶ場合：

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

3個選ぶ場合：

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

4個選ぶ場合：

${}_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1} = 5$ 通り

5個選ぶ場合：

${}_5C_5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1} = 1$ 通り

合計：$5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31$ 通り

3. 最終的な答え

31通り