$(x^2+x-2)^5$ の展開式における $x^3$ および $x^2$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x^2+x-2)^5$ の展開式における $x^3$ および $x^2$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + x - 2$ を因数分解します。

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

したがって、

$(x^2+x-2)^5 = ((x+2)(x-1))^5 = (x+2)^5 (x-1)^5$

$(x+2)^5$ の二項展開は、

$(x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^k 2^{5-k}$

$(x-1)^5$ の二項展開は、

$(x-1)^5 = \sum_{j=0}^{5} \binom{5}{j} x^j (-1)^{5-j}$

$x^3$ の係数を求めるには、$x^k$ と $x^j$ の積が $x^3$ になるように、$k+j = 3$ となる $k, j$ の組み合わせを考えます。つまり、$(k, j) = (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)$ です。

$x^3$ の係数：

$\binom{5}{0} 2^5 \binom{5}{3} (-1)^2 + \binom{5}{1} 2^4 \binom{5}{2} (-1)^3 + \binom{5}{2} 2^3 \binom{5}{1} (-1)^4 + \binom{5}{3} 2^2 \binom{5}{0} (-1)^5$

$= 1 \cdot 32 \cdot 10 \cdot 1 + 5 \cdot 16 \cdot 10 \cdot (-1) + 10 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 1 + 10 \cdot 4 \cdot 1 \cdot (-1)$

$= 320 - 800 + 400 - 40 = -120$

$x^2$ の係数を求めるには、$x^k$ と $x^j$ の積が $x^2$ になるように、$k+j = 2$ となる $k, j$ の組み合わせを考えます。つまり、$(k, j) = (0, 2), (1, 1), (2, 0)$ です。

$x^2$ の係数：

$\binom{5}{0} 2^5 \binom{5}{2} (-1)^3 + \binom{5}{1} 2^4 \binom{5}{1} (-1)^4 + \binom{5}{2} 2^3 \binom{5}{0} (-1)^5$

$= 1 \cdot 32 \cdot 10 \cdot (-1) + 5 \cdot 16 \cdot 5 \cdot 1 + 10 \cdot 8 \cdot 1 \cdot (-1)$

$= -320 + 400 - 80 = 0$

3. 最終的な答え

$x^3$ の係数: $-120$

$x^2$ の係数: $0$