与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、この式を整理し、因数分解しやすい形にします。ここでは、$a$ について降べきの順に整理します。

$a^2b - ca^2 - ab^2 + c^2a + b^2c - bc^2 = (b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + (b^2c - bc^2)$

ここで、$b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$ および $b^2c - bc^2 = bc(b-c)$ であることを用います。

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c) = (b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$

さらに、$a^2 - (b+c)a + bc$ を因数分解します。

$a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$

したがって、元の式は以下のように因数分解できます。

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$