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2次関数 $y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2 + 6a - 4$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 関数①のグラフとy軸との共有点Pのy座標をpとするとき、pが最小値となるときのaの値と、その最小値を求めます。 (2) 関数①のグラフの頂点Qの座標を求め、グラフがx軸と異なる2点で交わるようなaの範囲を求めます。さらに、ABの長さをaで表し、ABが最大となるときのaの値と、その最大値を求めます。 最後に、三角形ABQが正三角形となるとき、ABの中点をMとするときのMQの長さとABの長さの関係を用いて、aの値を求めます。

代数学二次関数平方完成グラフ頂点解と係数の関係二次不等式
2025/5/7

1. 問題の内容

2次関数 y=x2+(2a+2)x+2a2+6a−4y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2 + 6a - 4 について、以下の問いに答える問題です。
(1) 関数①のグラフとy軸との共有点Pのy座標をpとするとき、pが最小値となるときのaの値と、その最小値を求めます。
(2) 関数①のグラフの頂点Qの座標を求め、グラフがx軸と異なる2点で交わるようなaの範囲を求めます。さらに、ABの長さをaで表し、ABが最大となるときのaの値と、その最大値を求めます。
最後に、三角形ABQが正三角形となるとき、ABの中点をMとするときのMQの長さとABの長さの関係を用いて、aの値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)
関数①のグラフとy軸との共有点Pのy座標pは、x=0x=0 を代入することで得られます。
p=2a2+6a−4p = 2a^2 + 6a - 4
これを平方完成します。
p=2(a2+3a)−4=2(a+32)2−2(94)−4=2(a+32)2−92−82=2(a+32)2−172p = 2(a^2 + 3a) - 4 = 2(a + \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{9}{4}) - 4 = 2(a + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - \frac{8}{2} = 2(a + \frac{3}{2})^2 - \frac{17}{2}
したがって、a=−32a = -\frac{3}{2} のとき、最小値 −172-\frac{17}{2} をとります。
(2)
関数①を平方完成します。
y=x2+(2a+2)x+2a2+6a−4=(x+a+1)2−(a+1)2+2a2+6a−4y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2 + 6a - 4 = (x + a + 1)^2 - (a+1)^2 + 2a^2 + 6a - 4
y=(x+a+1)2−(a2+2a+1)+2a2+6a−4=(x+a+1)2+a2+4a−5y = (x + a + 1)^2 - (a^2 + 2a + 1) + 2a^2 + 6a - 4 = (x + a + 1)^2 + a^2 + 4a - 5
したがって、頂点Qの座標は (−a−1,a2+4a−5)(-a-1, a^2 + 4a - 5) となります。
グラフがx軸と異なる2点で交わるためには、頂点のy座標が負である必要があります。
a2+4a−5<0a^2 + 4a - 5 < 0
(a+5)(a−1)<0(a+5)(a-1) < 0
したがって、−5<a<1-5 < a < 1 です。
ABの長さは、x軸との交点のx座標をα\alpha, β\betaとすると、AB=∣β−α∣=(α+β)2−4αβAB = |\beta - \alpha| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta}です。
解と係数の関係より、α+β=−(2a+2)\alpha + \beta = -(2a+2), αβ=2a2+6a−4\alpha\beta = 2a^2 + 6a - 4なので、
AB=(−2a−2)2−4(2a2+6a−4)=4a2+8a+4−8a2−24a+16=−4a2−16a+20=2−a2−4a+5AB = \sqrt{(-2a-2)^2 - 4(2a^2 + 6a - 4)} = \sqrt{4a^2 + 8a + 4 - 8a^2 - 24a + 16} = \sqrt{-4a^2 - 16a + 20} = 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5}
AB=2−(a2+4a)+5=2−(a+2)2+4+5=2−(a+2)2+9AB = 2\sqrt{-(a^2 + 4a) + 5} = 2\sqrt{-(a+2)^2 + 4 + 5} = 2\sqrt{-(a+2)^2 + 9}
したがって、a=−2a = -2 のとき、ABは最大値 29=62\sqrt{9} = 6 をとります。
三角形ABQが正三角形となるとき、MQ=32ABMQ = \frac{\sqrt{3}}{2} ABが成り立ちます。
また、MQ=∣a2+4a−5∣MQ = |a^2 + 4a - 5| であり、AB=2−a2−4a+5AB = 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5}なので、
∣a2+4a−5∣=322−a2−4a+5|a^2 + 4a - 5| = \frac{\sqrt{3}}{2} 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5}
(a2+4a−5)2=3(−a2−4a+5)(a^2 + 4a - 5)^2 = 3(-a^2 - 4a + 5)
((a+2)2−9)2=−3((a+2)2−9)((a+2)^2 - 9)^2 = -3((a+2)^2 - 9)
x=(a+2)2−9x=(a+2)^2 - 9とおくと、x2=−3xx^2 = -3x, x2+3x=0x^2+3x=0, x(x+3)=0x(x+3)=0
したがって、x=0x = 0 または x=−3x = -3
(a+2)2−9=0(a+2)^2 - 9 = 0 より、 (a+2)2=9(a+2)^2 = 9 なので、a+2=±3a+2 = \pm 3, a=1,−5a = 1, -5
(a+2)2−9=−3(a+2)^2 - 9 = -3 より、 (a+2)2=6(a+2)^2 = 6 なので、a+2=±6a+2 = \pm \sqrt{6}, a=−2±6a = -2 \pm \sqrt{6}
−5<a<1-5 < a < 1 より、 a=−2±6a = -2 \pm \sqrt{6}

3. 最終的な答え

(1)
アイ：-3
ウ：2
エオカ：-17
キ：2
(2)
ク：-1
ケ：1
コ：4
サ：5
シス：-5
セ：1
ソ：1
タ：4
チ：5
ツテ：-2
ト：6
ナ：3
ニ：2
ヌネ：-2
ノ：6

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