画像にある3つの図形問題について、指定された変数の値を求める問題です。 (1) 三角形の角の二等分線の性質を用いて、$x$と$y$の値を求めます。 (2) チェバの定理・メネラウスの定理を用いて、$\frac{CE}{EA}$と$\frac{DG}{GA}$の値を求めます。 (3) 円の性質を用いて、$x$と$y$の値を求めます。

1. 問題の内容

画像にある3つの図形問題について、指定された変数の値を求める問題です。

(1) 三角形の角の二等分線の性質を用いて、$x$と$y$の値を求めます。

(2) チェバの定理・メネラウスの定理を用いて、$\frac{CE}{EA}$と$\frac{DG}{GA}$の値を求めます。

(3) 円の性質を用いて、$x$と$y$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の角の二等分線の性質:

角の二等分線は、対辺を隣辺の比に分割します。

左の図では、$AP$は$\angle BAC$の二等分線なので、$BP:PC = AB:AC$が成り立ちます。

$BP = 5$, $AC = 13$なので、$5:x = AB:13$です。$AB$の値がないので、$x$は求められません。問題文に情報が不足しています。

右の図では、$AQ$は$\angle BAC$の二等分線なので、$BC:CQ = AB:AC$が成り立ちます。

$BC = 6$, $AB = 5$, $AC = 3$なので、$6:y = 5:3$です。

これから、$5y = 18$、$y = \frac{18}{5}$です。

(2) チェバの定理・メネラウスの定理:

チェバの定理より、$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

メネラウスの定理より、$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CG}{GA} \cdot \frac{AF}{FB}= 1$

画像から、$AF = 3$, $FB = 2$, $BD = 3$, $DC = 2$, $CG = 2$です。

チェバの定理に代入すると、$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$。よって、$\frac{CE}{EA} = \frac{4}{9}$.

メネラウスの定理に代入すると、$\frac{DG}{GA} = \frac{4}{9}$.

(3) 円の性質:

(1) $x$は円周角で、$x = \angle EAD = \angle EBD = 55^\circ$.

$y$は円周角で、$AT$が接線なので、$\angle DAT = \angle ABD = 40^\circ$.

(2) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

$2(2+y) = 3(3+3)$.

$4+2y = 18$.

$2y = 14$.

$y = 7$.

方べきの定理より、$PA^2 = PC \cdot PD$.

$x^2 = 2(2+7)=18$.

$x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

(1)

$x$: 情報不足のため求められず

$y = \frac{18}{5}$

(2)

$\frac{CE}{EA} = \frac{4}{9}$

$\frac{DG}{GA} = \frac{4}{9}$

(3)

(1) $x = 55$, $y = 40$

(2) $x = 3\sqrt{2}$, $y = 7$