$\theta$が鋭角であるとき、$\sin \theta = \frac{2}{3}$ のときの $\cos \theta$ の値を求めよ。答えは $\cos \theta = \frac{\sqrt{\boxed{1}}}{\boxed{2}}$ の形で答える。

1. 問題の内容

$\theta$が鋭角であるとき、$\sin \theta = \frac{2}{3}$ のときの $\cos \theta$ の値を求めよ。答えは $\cos \theta = \frac{\sqrt{\boxed{1}}}{\boxed{2}}$ の形で答える。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の基本的な恒等式を利用します。$\sin \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$$(\frac{2}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$$

$$\frac{4}{9} + \cos^2 \theta = 1$$

$$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ であるから、

$$\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$