四面体ABCDに対し、ベクトルに関する等式 $\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 4\overrightarrow{CP} + 8\overrightarrow{DP} = \vec{0}$ を満たす点Pはどのような位置にあるか。

1. 問題の内容

四面体ABCDに対し、ベクトルに関する等式 $\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 4\overrightarrow{CP} + 8\overrightarrow{DP} = \vec{0}$ を満たす点Pはどのような位置にあるか。

2. 解き方の手順

まず、始点をAに統一します。

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AD}$

これらを元の式に代入すると、

$\overrightarrow{AP} + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 4(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) + 8(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AD}) = \vec{0}$

$\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AP} - 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AP} - 8\overrightarrow{AD} = \vec{0}$

$(1+3+4+8)\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}$

$16\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}}{16}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}}{3+4+8+1-1}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}}{3+4+8} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}}{15}$

ここで、点Eを$15\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}$を満たす点とすると、

$\overrightarrow{AP} = \frac{15}{16}\overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{15}{16}\overrightarrow{AE}$となるから、

点Pは線分AEを15:1で内分する点である。

次に点Eの位置を特定する。

$\overrightarrow{AE} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}}{15}$

$\overrightarrow{AE} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 12(\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}) + 24(\frac{1}{3}\overrightarrow{AD})}{15\times 3}$

$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{15}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{15}\overrightarrow{AC} + \frac{8}{15}\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AE} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD}}{15}$

ここで点Fを$4\overrightarrow{AF} = 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD} = 12\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AD})$を満たす点とする。このとき点Mを$2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$を満たす点とすると, AMは三角形ACDの中線となる。

よって$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AD}$を満たす点はADを2倍のばした線上に存在する点Fなので、間違っている。

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}+8\overrightarrow{AD}}{16}$より、これは平面BCD上にはない。

ここで、線分CDを$8:4=2:1$に内分する点をQとすると、$\overrightarrow{AQ} = \frac{\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}}{3}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{16} \overrightarrow{AB} + \frac{12}{16} (\frac{\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AD}}{3})$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{16} \overrightarrow{AB} + \frac{12}{16} \overrightarrow{AQ}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{16} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AQ}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{16}\overrightarrow{AB} + \frac{12}{16} \overrightarrow{AQ}$

線分BQを$t:1-t$に分けると、$1=\frac{3}{16} + \frac{12}{16}$となるためには $\frac{13}{16}=1$が成り立たないため不可能。

3. 最終的な答え

点Pは線分AEを15:1に内分する点。ただし点Eは$3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} + 8\overrightarrow{AD} = 15\overrightarrow{AE}$を満たす点である。