三角形ABCにおいて、$BC=4$, $CA=5$, $AB=6$である。三角形ABCの重心をG, 内心をI, 垂心をH, 外心をOとする。ベクトル$\vec{AG}, \vec{AI}, \vec{AH}, \vec{AO}$をそれぞれ$\vec{AB}, \vec{AC}$で表す。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=4$, $CA=5$, $AB=6$である。三角形ABCの重心をG, 内心をI, 垂心をH, 外心をOとする。ベクトル$\vec{AG}, \vec{AI}, \vec{AH}, \vec{AO}$をそれぞれ$\vec{AB}, \vec{AC}$で表す。

2. 解き方の手順

(1) 重心Gについて：

重心Gの位置ベクトルは、$\vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC})$である。

(2) 内心Iについて：

内心Iの位置ベクトルは、$\vec{AI} = \frac{BC \vec{AB} + AB \vec{AC}}{AB+BC+CA} = \frac{4 \vec{AB} + 6 \vec{AC}}{6+4+5} = \frac{4 \vec{AB} + 6 \vec{AC}}{15} = \frac{4}{15} \vec{AB} + \frac{6}{15} \vec{AC} = \frac{4}{15} \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AC}$である。

(3) 垂心Hについて：

$\vec{AH} = s \vec{AB} + t \vec{AC}$とおく。

$\vec{BH} \perp \vec{AC}$より、$\vec{BH} \cdot \vec{AC} = 0$

$\vec{AH} - \vec{AB} = s \vec{AB} + t \vec{AC} - \vec{AB} = (s-1) \vec{AB} + t \vec{AC}$

$((s-1) \vec{AB} + t \vec{AC}) \cdot \vec{AC} = 0$

$(s-1) \vec{AB} \cdot \vec{AC} + t |\vec{AC}|^2 = 0$

$|\vec{AB}| = 6$, $|\vec{AC}| = 5$, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}|\cos A = 6 \cdot 5 \cdot \frac{6^2+5^2-4^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{36+25-16}{2} = \frac{45}{2}$

$(s-1) \frac{45}{2} + t \cdot 25 = 0$

$45(s-1) + 50t = 0$

$9(s-1) + 10t = 0$

$9s + 10t = 9$

$\vec{CH} \perp \vec{AB}$より、$\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$

$\vec{AH} - \vec{AC} = s \vec{AB} + t \vec{AC} - \vec{AC} = s \vec{AB} + (t-1) \vec{AC}$

$(s \vec{AB} + (t-1) \vec{AC}) \cdot \vec{AB} = 0$

$s |\vec{AB}|^2 + (t-1) \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$

$36s + (t-1) \frac{45}{2} = 0$

$72s + 45(t-1) = 0$

$8s + 5(t-1) = 0$

$8s + 5t = 5$

$9s + 10t = 9$

$16s + 10t = 10$

$-7s = -1$

$s = \frac{1}{7}$

$8(\frac{1}{7}) + 5t = 5$

$5t = 5 - \frac{8}{7} = \frac{35-8}{7} = \frac{27}{7}$

$t = \frac{27}{35}$

$\vec{AH} = \frac{1}{7} \vec{AB} + \frac{27}{35} \vec{AC}$

(4) 外心Oについて：

三角形ABCの外接円の半径をRとする。正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$, $R = \frac{4}{2\sin A}$.

$\cos A = \frac{6^2+5^2-4^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$R = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

$\vec{AO} = x \vec{AB} + y \vec{AC}$

$|\vec{AO}| = R$

$\vec{AO} \cdot \vec{AB} = R \cdot 6 \cos \angle OAB$

$\vec{AO} \cdot \vec{AC} = R \cdot 5 \cos \angle OAC$

$\angle OAB = \angle OAC$.

$O$は辺$BC$の中点の垂直二等分線上にある。

$O$は三角形ABCの外心なので、$|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=R$

余弦定理より、$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A$

$16=36+25-60\cos A$

$60\cos A=45$

$\cos A=3/4$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AG} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC}$

(2) $\vec{AI} = \frac{4}{15} \vec{AB} + \frac{2}{5} \vec{AC}$

(3) $\vec{AH} = \frac{1}{7} \vec{AB} + \frac{27}{35} \vec{AC}$

(4) 外心のベクトル表現は、問題文の条件だけでは一意に定まらない。